Question

如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”

（1）請用直尺與圓規(guī)畫一個“好玩三角形”；

（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，，求證：△ABC是“好玩三角形”；

（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為a, ∠ABC=2β，點P，Q從點A同時出發(fā)，以相同的速度分別沿折線AB－BC和AD－DC向終點C運動，記點P所經(jīng)過的路程為s

①當β=45°時，若△APQ是“好玩三角形”，試求的值；

②當tanβ的取值在什么范圍內(nèi)，點P，Q在運動過程中，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”？請直接寫出tanβ的取值范圍。

（4）本小題為選做題

依據(jù)（3）中的條件，提出一個關(guān)于“在點P，Q的運動過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是“好玩三角形”的個數(shù)關(guān)系”的真命題（“好玩三角形”的個數(shù)限定不能為1）。

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）見解析（3）①或②（4）見解析

【解析】解：（1）作圖如下，△ABC即為所求。

（2證明：取AC的中點D，連接BD，

∵∠C=90°，，∴。

設，由，。

∴。

∴AC=BD。∴△ABC是“好玩三角形”。

（3）①若β=45°，當點P在AB上時，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”。

當點P在BC上時，連接AC，交PQ于點E，延長AB交QP的延長線于點F，

∵PC=QC，∠ACB=∠ACD，∴AC是PQ的垂直平分線。

∴AP=AQ。

∵∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，∴△AEF∽△CEP。

∴。

∵PE=CE，∴。

ⅰ）當?shù)走匬Q與它的中線AE相等，即AE=PQ時，，∴。

ⅱ）當腰AP與它的中線QM相等，即AP=QM時，

作QN⊥AP于點N，∴MN=AN=PM。

∴QN=MN。

∴。

∴。

∴。

綜上所述，的值為或。

②。

（4）若，則在點P，Q的運動過程中，使得△APQ是“好玩三角形”的個數(shù)為2。

（1）作邊AB，取AB中點D，以點D 為圓心，AB長畫圓，圓上異于點A、B 的任一點C與點A、B連成的三角形就是“好玩三角形”。

（2）取AC的中點D，連接BD，應用銳角三角函數(shù)定義和勾股定理證明AC=BD即可。

（3）①先確定當點P在BC上時才可能使△APQ是“好玩三角形”，從而分底邊PQ與它的中線AE相等和腰AP與它的中線QM相等兩種情況求解。

②由①知兩上臨界點和2，即可得出結(jié)論。

（4）在點P，Q的運動過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是“好玩三角形”的個數(shù)關(guān)系如下：

tanβ的取值范圍	“好玩三角形”的個數(shù)
	2
	1
	0
	無數(shù)個