如圖,在直角坐標系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象的頂點為D點,與y軸交于C點,與x軸交于A、B兩點,A點在原點的左側(cè),B點的坐標為(3,0),OB=OC,tan∠ACO=
(1)求這個二次函數(shù)的表達式.
(2)經(jīng)過C、D兩點的直線,與x軸交于點E,在拋物線上是否存在這樣的點F,使以點A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點F的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)已知條件,易求得C、A的坐標,可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)根據(jù)以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形,由平行四邊形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)得出AE=CF,AE∥CF即可得出答案.
解答:解:(1)方法一:由已知得:C(0,-3),A(-1,0),
將A、B、C三點的坐標代入得,
解得:,
所以這個二次函數(shù)的表達式為:y=x2-2x-3;
方法二:由已知得:C(0,-3),A(-1,0),
設該表達式為:y=a(x+1)(x-3),
將C點的坐標代入得:a=1,
所以這個二次函數(shù)的表達式為:y=x2-2x-3;

(2)如圖,在y=x2-2x-3中,令x=0,得y=-3.
令y=0,得x2-2x-3=0,∴x1=-1,x2=3.
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-3).
又y=(x-1)2-4,∴頂點D(1,-4).
容易求得直線CD的表達式是y=-x-3.
在y=-x-3中,令y=0,得x=-3.
∴E(-3,0),
∴AE=2.
在y=x2-2x-3中,令y=-3,得x1=0,x2=2,
∴CF=2,
∴AE=CF.
∵AE∥CF,
∴四邊形AECF為平行四邊形,此時F(2,-3).
點評:本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、平行四邊形的判定、圖形面積的求法等知識,綜合性強,能力要求較高.考查學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.
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18、如圖,在直角坐標系中,已知點A(-3,0),B(0,4),對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到三角形①、②、③、④…,則三角形⑦的直角頂點的坐標為
(24,0)

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精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標系中,點P的坐標為(3,4),將OP繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OP′.
(1)在圖中畫出線段OP′;
(2)求P′的坐標和
PP′
的長度.

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如圖,在直角坐標系中,O為原點.反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象經(jīng)過第一象限的點A,點A的縱坐標是橫坐標的
3
2
倍.
(1)求點A的坐標;
(2)如果經(jīng)過點A的一次函數(shù)圖象與x軸的負半軸交于點B,AC⊥x軸于點C,若△ABC的面積為9,求這個一次函數(shù)的解析式.
(3)點D在反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象上,且點D在直線AC的右側(cè),作DE⊥x軸于點E,當△ABC與△CDE相似時,求點D的坐標.

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如圖,在直角坐標系中,△ABC的三個頂點的坐標分別為A(-6,0),B(-4,6),C(0,2).畫出△ABC的兩個位似圖形△A1B1C1,△A2B2C2,同時滿足下列兩個條件:
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(2)△A1B1C1,△A2B2C2與△ABC的面積比都是1:4.(作出圖形,保留痕跡,標上相應字母)

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如圖,在直角坐標系中,已知點A(-4,0),B(0,3),對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到三角形(1),三角形(2),三角形(3),三角形(4),…,

(1)△AOB的面積是
6
6
;
(2)三角形(2013)的直角頂點的坐標是
(8052,0)
(8052,0)

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