Question

如圖，已知直線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為 (1，0)。

⑴求該拋物線的解析式；

⑵動(dòng)點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)△PAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

⑶在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使|AM-MC|的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

Answer 1

（1）將A（0，1）、B（1，0）坐標(biāo)代入得解得

∴拋物線的解折式為

（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則它的縱坐標(biāo)為   即 E點(diǎn)的坐標(biāo)（，）又∵點(diǎn)E在直線上 ∴  解得（舍去），∴E的坐標(biāo)為（4，3）

（Ⅰ）當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)

過(guò)A作AP₁⊥DE交x軸于P₁點(diǎn)，設(shè)P₁（a,0）   易知D點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，0）    由Rt△AOD∽R(shí)t△POA得

即，∴a＝   ∴P₁（，0）

（Ⅱ）同理，當(dāng)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，P₂點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）

（Ⅲ）當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)E作EF⊥x軸于F，設(shè)P₃（、）由∠OPA+∠FPE＝90°，得∠OPA＝∠FEP    Rt△AOP∽R(shí)t△PFE  

由得 解得，

∴此時(shí)的點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0）

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）

（Ⅲ）拋物線的對(duì)稱軸為…（9分）∵B、C關(guān)于x＝對(duì)稱    ∴MC＝MB

要使|AM-MC|最大，即是使|AM-MB|最大 

由三角形兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)A、B、M在同一直線上時(shí)|AM-MB|的值最大．易知直線AB的解折式為∴由  得 ∴M（，－）……