Question

探究問(wèn)題：圓內(nèi)有很多關(guān)于線段的性質(zhì)，如果能進(jìn)行深入的探究，對(duì)提高自己的學(xué)習(xí)能力有很大的幫助。雖然這些知識(shí)看起來(lái)很復(fù)雜，摸不著頭腦，但其實(shí)，我們完全可以用已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)來(lái)得到這些新的知識(shí)。下面，就請(qǐng)同學(xué)們開動(dòng)腦筋，積極思考，來(lái)作一個(gè)深入的探究吧。

如圖所示，PT是圓O的切線，點(diǎn)T是切點(diǎn)，作線段PB與圓O相交，交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)，連結(jié)TA、OP,OP與圓O相交于點(diǎn)C。

（1）探究∠ATP與∠B之間的關(guān)系（提示：過(guò)點(diǎn)T作直徑與圓相交，連結(jié)這個(gè)交點(diǎn)與A點(diǎn)）

（2）證明：PT²=PA·PB

（3）如果線段PA=4，AB=5,CP=3，求出圓O的半徑。

 

Answer 1

 解：（1）連結(jié)OT并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)C，連結(jié)AC.

             因?yàn)門C是直徑，故∠TAC是直角，也就是∠ACT與∠CTA互余.

             又因?yàn)椤蟃CA和∠B所對(duì)弧相同，所以∠TCA=∠B，故∠B與∠CTA互余.                                         （4分）

             又PT是切線，所以∠CTA和∠ATP互余，所以∠ATP=∠B.

         （2）因?yàn)椤螦TP=∠B，∠TP=∠BPA，所以ΔATPΔTPB，于是

              ，所以PT²=PA·PB                       （7分）

         （3）因?yàn)镻A=4，AB=5，所以PB=9，從而PT²=PA·PB=4×9=36，所以PT=6. 設(shè)圓O的半徑為R，又CP=3，所以O(shè)P=R+3，OT=R，根據(jù)勾股定理，有OT²+PT²=OP²，可求出R=4.5.