Question

（本題滿分14分，其中第（1）題4分，第（2）題的第?、?小題分別為4分、6分）

如圖1，在△ABC中，已知AB=15，cosB=，tanC=．點(diǎn)D為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以D為圓心，BD為半徑的⊙D交邊AB于點(diǎn)E．

（1）設(shè)BD=x，AE=y，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定域義；

（2）如圖2，點(diǎn)F為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BD=CF，聯(lián)結(jié)DF．

①當(dāng)△ABC和△FDC相似時(shí)，求⊙D的半徑；

② 當(dāng)⊙D與以點(diǎn)F為圓心，FC為半徑⊙F外切時(shí)，求⊙D的半徑．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=-x+15  定義域0﹤x≦.(2)①⊙D的半徑為或，②⊙D的半徑為。

【解析】

試題分析：解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BE，垂足為E

∵DG過(guò)圓心，∴BE=2BG     （1分）

在Rt△DGB中，cosB=，∵BD=x，∴BG=　    （1分）

∴BE=，∵AB=15，∴y=15-     （1分）

定義域?yàn)?<x≤　     （1分）

（2）①過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H

在Rt△ADH中，cosB=

∵AB=15，∴BH=9，∴AH=12     （1分）

在Rt△AHC中，tanC=

∴HC=5，∴BC=14         （1分）

設(shè)BD=x，則CF=，DC=14-x

∵∠C=∠C，∴當(dāng)△ABC和△FDC相似時(shí)，有

（ⅰ），即，x=，∴BD=     （1分）

（ⅱ），即，x=，∴BD=    （1分）

∴當(dāng)△ABC和△FDC相似時(shí)，⊙D的半徑為或

②過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC，垂足為M

在Rt△FMC中，tanC=    （1分）

∴sinC=，∵CF=，∴FM=，MC=    （1分）

∴DM=14-x-=14-        （1分）

∴DF=   （1分）

∵⊙D與⊙F外切，∴DF=    （1分）

∴=，解得x₁=，x₂=(舍去)

即BD=    （1分）

∴當(dāng)⊙D與⊙F外切時(shí)，⊙D的半徑為．

考點(diǎn)：一次函數(shù)的定義，相似三角形的定義及性質(zhì)，切線定理，三角函數(shù)定義。

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性很強(qiáng)，涉及到的概念性質(zhì)定理很多，計(jì)算又多，很容易出錯(cuò)，相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)錯(cuò)綜復(fù)雜，還有動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的要求極高，要善于領(lǐng)會(huì)已知條件，及圖像的變換過(guò)程，把握住已知條件，從基礎(chǔ)入手，逐步的進(jìn)行解答。題中說(shuō)的定義域即是函數(shù)中自變量x的取值范圍，本題屬于難題，中考時(shí)一般以大題的形式出現(xiàn)。