Question

如圖，△ABC中，AB=AC=2，BC邊上有10個(gè)不同的點(diǎn)P₁，P₂，…P₁₀，記M_i=AP_i²+P_iB•P_iC（i=1，2，…，10），那么，M₁+M₂+…+M₁₀=________．

Answer 1

40
分析：作AD⊥BC，則存在AB²=AD²+BD²，根據(jù)AP_i²=AD²+DP_i²化簡得：（BD+DP_i）（BD-DP_i）經(jīng)計(jì)算得M=4，則可計(jì)算M₁+M₂+…+M₁₀．
解答：解：如圖，作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD和Rt△AP_iD中，AB²=AD²+BD²，AP_i²=AD²+P_iD²，
所以AB²-AP_i²=AD²+BD²-（AD²+P_iD²）
=BD²-P_iD²
=（BD+P_iD）（BD-P_iD）
=P_iC•P_iB
所以AP_i²+P_iC•P_iB=AB²=4，所以M_i=4．
所以M₁+M₂+…+M₁₀=40．
故答案為40．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的靈活運(yùn)用，本題中根據(jù)勾股定理化簡AP_i²=AD²+DP_i²是解題的關(guān)鍵．