Question

如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點O為AD上一動點（4＜OA＜8），以O為圓心，OA的長為半徑的圓交邊CD于點M，連接OM，過點M作⊙O的切線交邊BC于N．

（1）求證：△ODM∽△MCN；

（2）設DM = x，OA=R，求R關于x 的函數(shù)關系式；

（3）在動點O逐漸向點D運動（OA逐漸增大）的過程中，△CMN的周長如何變化？說明理由。

Answer 1

.解（1）∵MN切⊙O于點M，∴  

∵

∴  

又∵∴△∽△，

（2）在Rt△中，，設；

∴，

由勾股定理得：，

∴，∴；

（3）解法一：∵，又

且有△∽△， ∴， ∴代入得到；

同理，∴代入得到； 

∴△CMN的周長為P=

                  ．

在點O的運動過程中，△CMN的周長P始終為16，是一個定值．

解法二：在Rt△中，，

設△的周長P′ =；

而△∽△，且相似比；

∵，∴△的周長為P =

在點O的運動過程中，△CMN的周長P始終為16，是一個定值．