Question

實踐與探索！如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，根據(jù)下列條件，求∠BIC的度數(shù)，
①若∠ABC=40°，∠ACB=60°，則∠BIC=

 

；
②若∠ABC+∠ACB=80°，則∠BIC=

 

；
③若∠A=120°，則∠BIC=

 

；
④從上述計算中，我們能發(fā)現(xiàn)∠BIC與∠A的關(guān)系式，并加以證明．

Answer 1

分析：①由∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，可求∠IBC、∠ICB的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理求∠BIC；
②由∠ABC+∠ACB=80°，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，可求∠IBC+∠ICB的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理求∠BIC；
③由∠A=120°可知∠ABC+∠ACB=60°，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，可求∠IBC+∠ICB的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理求∠BIC；
④由三角形內(nèi)角和定理得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，則∠IBC+∠ICB=

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2

∠ABC+

1

2

∠ACB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A），在△IBC中，利用三角形內(nèi)角和定理求∠BIC．

解答：解：①∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，
∴∠IBC=20°∠ICB=30°，
∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=130°；
②∵∠ABC+∠ACB=80°，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，
∴∠IBC+∠ICB=

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2

（∠ABC+∠ACB）=40°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=140°；
③∵∠A=120°，
∴∠ABC+∠ACB=60°，
又∵∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，
∴∠IBC+∠ICB=

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2

（∠ABC+∠ACB）=30°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=150°；
④∠BIC=90°+

1

2

∠A
理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∵BI、CI是△ABC內(nèi)角的平分線
∴∠IBC=

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2

∠ABC，∠ICB=

1

2

∠ACB
∴∠IBC+∠ICB=

1

2

∠ABC+

1

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∠ACB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）
在△IBC中，
∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A
即：∠BIC=90°+

1

2

∠A．

點評：本題考查了三角形角平分線的性質(zhì)，內(nèi)角和定理的運用．