Question

如圖，拋物線經(jīng)過原點O、點A（6，8）和點（3，-5）．
（1）求直線OA的表達式；
（2）求拋物線的表達式；
（3）如果點B在線段OA上，與y軸平行的直線BC與拋物線相交于點C，△OBC是等腰三角形，求點C的坐標？

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線OA的表達式y(tǒng)=kx，把A的坐標代入求出k即可；
（2）設拋物線的表達為y=ax²+bx，把A的坐標和（3，-5）代入得到方程組，求出方程組的解即可；
（3）設直線BC與x軸相交于點H，設B（3m，4m），得出OH=3m，BH=4m，OB=5m，當OC=OB時，得出方程-4m=9m²-14m，當BC=OB=5m時，得出方程-m=9m²-14m，當BC=OC時，過點C作CE⊥OB，垂足為E，得到方程-14m，求出方程的解即可得到C的坐標．
解答：解：（1）設直線OA的表達式y(tǒng)=kx，
∵A（6，8），
∴8=6k，
解得k=，
∴所求直線的表達式為y=x，
答：直線OA的表達式為y=x．

（2）設拋物線的表達為y=ax²+bx，
∵拋物線經(jīng)過點（6，8）、（3，-5），
∴，
解得，
∴所求拋物線的表達式為y=x²-x，
答：拋物線的表達式為y=x²-x．

（3）設直線BC與x軸相交于點H，
∵BC∥y軸，
∴BC⊥x軸，
設B（3m，4m），
則OH=3m，BH=4m，OB=5m，
由于△OBC是等腰三角形，
所以當OC=OB時，CH=BH=4m，點C（3m，-4m），
∴-4m=9m²-14m，
∴m₁=0（舍去），m₂=，
∴C；
當BC=OB=5m時，CH=BC-BH=m，點C（3m，-m），
∴-m=9m²-14m，
∴m₁=0（舍去），m₂=，
∴C；
當BC=OC時，過點C作CE⊥OB，垂足為E，BE=m，
BC=m，CH=BH-BC=4m-m，
點C（3m，m），
∴-14m，
∴m₁=0（舍去），m₂=，
∴C，
答：點C的坐標為或或．
點評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，解一元二次方程，解二元一次方程組，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關鍵．