Question

已知：如圖，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，且EM＞MC．連接DE，DE=

15

．
（1）求EM的長(zhǎng)；
（2）求sin∠EOB的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理及勾股定理可求出CE的長(zhǎng)，再由相交弦定理求出EM的長(zhǎng)即可；
（2）由（1）中所求EM的長(zhǎng)判斷出△OEM為等腰三角形，過E作EF⊥OM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出OF，EF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出sin∠EOB的值．

解答：解：如圖，（1）∵DC為⊙O的直徑，
∴DE⊥EC（1分）
∵DC=8，DE=

15

∴EC=

DC2-DE2

=

64-15

=7（2分）
設(shè)EM=x，由于M為OB的中點(diǎn)，
∴BM=2，AM=6，
由相交弦定理AM•MB=EM•CM，（3分）
即6×2=x（7-x），x²-7x+12=0
解這個(gè)方程，得x₁=3，x₂=4
∵EM＞MC
∴EM=4；（5分）

（2）∵OE=EM=4
∴△OEM為等腰三角形
過E作EF⊥OM，垂足為F，則OF=

1

2

OM=1
∴EF=

OE2-OF2

=

16-1

=

15

∴sin∠EOB=

15

4

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)，屬中學(xué)階段的基本內(nèi)容．