Question

（2011•峨眉山市二模）如圖，在Rt△ABO中，OB=8，tan∠OBA=

3

4

．若以O(shè)為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點C在x軸負半軸上，且OB=4OC．若拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、B、C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點為P，求四邊形OAPB的面積；
（3）有兩動點M，N同時從點O出發(fā)，其中點M以每秒2個單位長度的速度沿折線OAB按O→A→B的路線運動，點N以每秒4個單位長度的速度沿折線按O→B→A的路線運動，當(dāng)M、N兩點相遇時，它們都停止運動．設(shè)M、N同時從點O出發(fā)t秒時，△OMN的面積為S．
①請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
②判斷在①的過程中，t為何值時，△OMN的面積最大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件可求OA、OC的長度，從而得A、B、C三點坐標．代入拋物線解析式中得方程組求解；
（2）根據(jù)解析式求頂點P的坐標．作PD⊥x軸于D點，則四邊形OAPB的面積=梯形ODPB的面積+△APD的面積；
（3）分段表示：①0＜t≤2； ②2＜t＜3； ③3≤t＜4．
根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求面積最大值．

解答：解：（1）∵tan∠OBA=

OA

OB

=

3

4

，
∴OA=OB•tan∠OBA=8×

3

4

=6，則A的坐標是（6，0）．
∵OB=4OC，
∴OC=

1

4

OB=2，則C的坐標是（-2，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、B、C，
則

36a+6b+c=0 c=-8 4a-2b+c=0

解得：

a= 2 3 c=-8 b=- 8 3

，
則拋物線的解析式是：y=

2

3

x²-

8

3

x-8；


（2）拋物線的頂點的橫坐標 x=-

- 8 3

2× 2 3

=2，
縱坐標是：y=

2

3

×2²-

8

3

×2-8=-

32

3

．                                            
則P的坐標是：（2，-

32

3

）．                                                                             
S_{四邊形OAPB}=S_梯形ODPB+S_△APD
=（8+

32

3

）×2×

1

2

+

1

2

×（6-2）×

32

3

=40；


（3）當(dāng) 0＜t≤2 時，S_△OMN=

1

2

×4t×2t=4t²；
當(dāng)t=2時，S最大，最大值為16；
當(dāng) 2＜t＜3 時，BN=4t-8，AN=10-（4t-8）=18-4t．
作NQ⊥x軸于Q點，則

NQ

AN

=

OB

AB

=

8

10

=

4

5

，
∴NQ=

4

5

×(18-4t)．
∴S_△OMN=

1

2

×2t×

4

5

×(18-4t)=-

16

5

t²+

72

5

t；
當(dāng)t=

9

4

時S最大，最大值為

81

5

；
當(dāng) 3≤t＜4 時，MN=△OAB的周長-4t-2t=24-6t．
作OQ⊥AB于Q點．
∵S_△OAB=

1

2

OA×OB=

1

2

AB×OQ，
∴OQ=

6×8

10

=

24

5

．
∴S_△OMN=

1

2

×

24

5

×（24-6t）=-

72

5

t+

288

5

；
當(dāng)t=3時S最大，最大值為

72

5

．
綜上所述，在整個運動過程中，當(dāng)t=

9

4

時S_△OMN最大，最大值為

81

5

．

點評：此題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及應(yīng)用分類思想求運動過程中圖形的面積計算，綜合性強，難度大．