(2005•資陽)閱讀以下短文,然后解決下列問題:
如果一個三角形和一個矩形滿足條件:三角形的一邊與矩形的一邊重合,且三角形的這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上,則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”,如圖①所示,矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”,顯然,當(dāng)△ABC是鈍角三角形時,其“友好矩形”只有一個.
(1)仿照以上敘述,說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”;
(2)如圖②,若△ABC為直角三角形,且∠C=90°,在圖②中畫出△ABC的所有“友好矩形”,并比較這些矩形面積的大。
(3)若△ABC是銳角三角形,且BC>AC>AB,在圖③中畫出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周長最小的矩形并加以證明.
【答案】分析:(1)類似“友好矩形”的定義,即可寫出“友好平行四邊形”的定義:
如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件:三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合,三角形這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上,則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”;
(2)根據(jù)定義,則分別讓直角三角形的直角邊或斜邊當(dāng)矩形的一邊,過第三個頂點作它的對邊,從而畫出矩形.根據(jù)每個矩形和直角三角形的面積的關(guān)系,比較兩個矩形的面積大;
(3)分別以三角形的一邊當(dāng)矩形的另一邊,過第三個頂點作矩形的對邊,從而畫出矩形,根據(jù)三角形和矩形的面積公式,可知三個矩形的面積相等,設(shè)矩形的面積是S,三角形的三條邊分別是a,b,c.根據(jù)矩形的面積由其中一邊表示出矩形的另一邊,進一步求得其周長,運用求差法比較它們的周長的大小.
解答:解:(1)如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件:三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合,三角形這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上,則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”.     

(2)此時共有2個友好矩形,如圖的BCAD、ABEF.     
易知,矩形BCAD、ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍,
∴△ABC的“友好矩形”的面積相等.                

(3)此時共有3個友好矩形,如圖的BCDE、CAFG及ABHK,
其中的矩形ABHK的周長最。                        

證明如下:
易知,這三個矩形的面積相等,令其為S,設(shè)矩形BCDE、CAFG及ABHK的周長分別為L1,L2,L3
△ABC的邊長BC=a,CA=b,AB=c,則:
L1=+2a,L2=+2b,L3=+2c,
∴L1-L2=(+2a)-(+2b)=-(a-b)+2(a-b)=2(a-b)
而ab>S,a>b,
∴L1-L2>0,即L1>L2
同理可得,L2>L3,
∴L3最小,即矩形ABHK的周長最。
點評:理解該題中的新定義,能夠根據(jù)定義正確畫出符合要求的圖形,掌握三角形和矩形的面積公式,能夠運用求差法比較數(shù)的大。
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(2005•資陽)如圖,已知O為坐標原點,∠AOB=30°,∠ABO=90°,且點A的坐標為(2,0).
(1)求點B的坐標;
(2)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A、B、O三點,求此二次函數(shù)的解析式;
(3)在(2)中的二次函數(shù)圖象的OB段(不包括點O、B)上,是否存在一點C,使得四邊形ABCO的面積最大?若存在,求出這個最大值及此時點C的坐標;若不存在,請說明理由.

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(1)求點B的坐標;
(2)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A、B、O三點,求此二次函數(shù)的解析式;
(3)在(2)中的二次函數(shù)圖象的OB段(不包括點O、B)上,是否存在一點C,使得四邊形ABCO的面積最大?若存在,求出這個最大值及此時點C的坐標;若不存在,請說明理由.

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(1)求點B的坐標;
(2)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A、B、O三點,求此二次函數(shù)的解析式;
(3)在(2)中的二次函數(shù)圖象的OB段(不包括點O、B)上,是否存在一點C,使得四邊形ABCO的面積最大?若存在,求出這個最大值及此時點C的坐標;若不存在,請說明理由.

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(2005•資陽)閱讀以下短文,然后解決下列問題:
如果一個三角形和一個矩形滿足條件:三角形的一邊與矩形的一邊重合,且三角形的這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上,則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”,如圖①所示,矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”,顯然,當(dāng)△ABC是鈍角三角形時,其“友好矩形”只有一個.
(1)仿照以上敘述,說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”;
(2)如圖②,若△ABC為直角三角形,且∠C=90°,在圖②中畫出△ABC的所有“友好矩形”,并比較這些矩形面積的大小;
(3)若△ABC是銳角三角形,且BC>AC>AB,在圖③中畫出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周長最小的矩形并加以證明.

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