Question

重慶西永微電園入駐企業(yè)----方正集團開發(fā)了一種新型電子產(chǎn)品，是未來五年IT行業(yè)倍受青睞的產(chǎn)品．在五年銷售期限內(nèi)，方正集團每年對該產(chǎn)品最多可投入100萬元銷售投資，該集團營銷部門根據(jù)市場分析，對該產(chǎn)品的銷售投資收益擬定了兩種銷售方案：
方案一：只在國內(nèi)銷售，每投入x萬元，每年可獲得利潤P與x關系如下表所示：

x （萬元）	…	50	60	70	80	…
P（萬元）	…	40	41	40	37	…

方案二：五年銷售期限內(nèi)，每年均投入100萬元銷售投資．前兩年中，每年撥出50萬元用于籌備國際營銷平臺，兩年籌備完成，完成前該產(chǎn)品只能在國內(nèi)銷售；國際營銷平臺完成后的3年中，該產(chǎn)品既在國內(nèi)銷售，也在國外銷售，在國內(nèi)銷售的投資收益仍滿足方案一，而在國外銷售的投資收益為：每年投入x萬元，可獲年利潤Q=-

99

100

(100-x)2+

294

5

(100-x)+160（萬元）．
（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關知識，直接寫出P與x之間的函數(shù)關系式，并求出選擇方案一該集團每年所獲利潤的最大值．
（2）若選擇方案二，設后3年中每年用于國內(nèi)銷售的投入為n（萬元），則n為何值時可使這5年所獲總利潤（扣除籌備國際營銷平臺資金后）最大？并求出該最大值．
（3）方正集團的國際營銷平臺也可銷售該集團其它產(chǎn)品，方正集團決定將另一種產(chǎn)品也銷往國外．已知，該產(chǎn)品在國內(nèi)銷售情況為：售價y（元/件）與銷量a（件）的函數(shù)關系式為y=-

1

100

a+120，成本為20元/件；國外銷售情況為：價格為120元/件，國外銷售成本為40元/件．該集團要將8000件產(chǎn)品全部銷售完并獲得312000元的利潤，該集團該怎樣安排國內(nèi)的銷售量？（精確到個位）
（參考數(shù)據(jù)：

2

≈1.414

3

≈1.732

5

≈2.236）

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應用

專題：

分析：（1）根據(jù)題中的表格可以得出x=50或70時，y=40，可以得出此函數(shù)為二次函數(shù)頂點坐標為（60，41），進而求出函數(shù)解析式；
（2）首先求得前兩年的利潤，即可得函數(shù)其總利潤：W=[-

1

100

(n-60)2+41+(-

99

100

n2+

294

5

n+160)]×3，整理求解即可求得最大值，則可求得5年所獲利潤的最大值；
（3）根據(jù)售價y（元/件）與銷量a（件）的函數(shù)關系式以及國內(nèi)外成本與售價即可得出獲得312000元的利潤，該集團該安排國內(nèi)的銷售量情況．

解答：解：（1）根據(jù)圖表可得：x=50或70時，y=40，此函數(shù)為二次函數(shù)頂點坐標為（60，41），
得到p=a（x-60）²+41，
將（50，40）代入得出：
40=a（50-60）²+41，
解得：a=-

1

100

，
函數(shù)解析式為：P=-

1

100

(x-60)2+41，（2分）
當x=60時P有最大值41．（3分）

（2）方案二，在前2年中，當x=50時，每年最大利潤為：P=-

1

100

(50-60)2+41=40（萬元），
前2年的利潤為：40×2=80（萬元），
扣除籌備資金后的純利潤為：80-50×2=-20（萬元）．（4分）
國際營銷平臺籌備完成后，每年用n萬元投資本地銷售，則其總利潤：W=[-

1

100

(n-60)2+41+(-

99

100

n2+

294

5

n+160)]×3，
=-3n²+180n+495，
=-3（n-30）²+3195．
當n=30時，W的最大值為3195萬元，（6分）
∴5年的最大利潤為3195-20=3175（萬元），（7分）

（3）設在國內(nèi)銷售a件，
由題意可知：（-

1

100

a+120-20）a+80（8000-a）=312000，（8分）
化簡可得：a²-2000a-32800000=0，（9分）
解得：a1=

2000+5200 5

2

，a2=

2000-5200 5

2

（舍），
∴a≈6814．
答：集團該安排國內(nèi)的銷售量為6814件．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應用以及一元二次方程的應用，此題閱讀量較大，從已知中得出正確信息進而表示出各等量關系是解題關鍵．