Question

已知△ABC（如圖所示）．
（1）在圖中找出重心O；
（2）設(shè)BC，AC，AB邊的中點(diǎn)為M，N，G，度量OM和OA，ON與OB，OG與OC，根據(jù)度量的結(jié)果，猜想三角形的重心到三角形頂點(diǎn)的距離與到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之間的距離，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）各中線的交點(diǎn)叫重心．
（2）根據(jù)度量的結(jié)果得出結(jié)論，進(jìn)而進(jìn)行證明．作出長(zhǎng)邊的中點(diǎn)利用三角形中位線定理得到平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求證即可．

解答：解：（1）用尺規(guī)作圖作出△ABC三邊的中線AM，BN，CG，設(shè)它們的交點(diǎn)為O，則O為△ABC的重心

（2）通過(guò)度量發(fā)現(xiàn)：AO=2OM，BO=2ON，CO=2OG
猜想：三角形的重心O到三角形頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍．
證明：如圖所示，取BO，CO的中點(diǎn)K，H，連接KH，HN，NG，KG，
∵G，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，
∴GN平行且等于

1

2

BC．
又∵K，H分別是OB，OC邊的中點(diǎn)，
∴KH平行且等于

1

2

BC．
∴GN平行且等于KH．
∴四邊形KHNG是平行四邊形．
∴GO=OH，NO=KO．
而B(niǎo)K=KO，CH=HO，
∴BO=2ON，CO=2OG．
若取AO的中點(diǎn)R，
同理，可證AO=2OM．
∴AO=2OM，BO=2ON，CO=2OG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查重心的定義，利用三角形中位線定理判斷出平行四邊形．需注意三角形問(wèn)題常轉(zhuǎn)換為平行四邊形問(wèn)題來(lái)解決．