Question

如圖，已知直線y=-x+3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C（1，0）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）觀察圖象，寫出不等式ax²+bx+c＞-x+3的解集為

 

；
（3）若點D的坐標為（-1，0），在直線y=-x+3上有一點P，使△ABO與△ADP相似，求出點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先利用交點式得出y=a（x-1）（x-3），進而得出a的值即可；
（2）利用函數(shù)圖象得出ax²+bx+c＞-x+3的解集即為交點兩側兩圖象在上面的則對應函數(shù)值大，否則就小，進而得出答案；
（3）根據(jù)題意分析①若△ABO∽△AP₁D，②若△ABO∽△ADP₂，進而分別得出P點坐標即可．

解答：解：（1）由題意得出：A（3，0），B（0，3），
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C（1，0）三點，
∴設y=a（x-1）（x-3），（a≠0），
∴a×（-1）×（-3）=3，
∴拋物線解析式為：y=x²-4x+3；

（2）∵A（3，0），B（0，3），
∴利用圖象可得出：不等式ax²+bx+c＞-x+3的解集為：x＜0或x＞3；
故答案為：x＜0或x＞3；

（3）由題意得：△ABO為等腰直角三角形，如圖所示：
①若△ABO∽△AP₁D，
則

AO

AD

=

OB

DP1

，
∴DP₁=AD=4，
∴P₁（-1，4）；
②若△ABO∽△ADP₂，過點P₂作P₂M⊥x軸于點M，AD=4，
∵△ABO為等腰直角三角形，
∴△ADP₂是等腰直角三角形，由三線合一可得：DM=AM=2=P₂M，
∴MO=1，
∴P₂（1，2）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應用以及等腰直角三角形的性質和相似三角形的性質和利用函數(shù)圖象確定函數(shù)值大小關系，利用分類討論以及數(shù)形結合得出是解題關鍵．