Question

在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB＝2，AP＝1．將直角尺的頂點(diǎn)放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點(diǎn)E，F，連接EF（如圖①）．

（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合（如圖②），求PC的長；（5分）

（2）探究：將直尺從圖②中的位置開始，繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時停止．在這個過程中，請你觀察、猜想，并解答：

（1）tan∠PEF的值是否發(fā)生變化？請說明理由；（5分）

（2）直接寫出從開始到停止，線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過的路線長．（4分）

Answer 1

解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，

AP＝1，CD＝AB＝2，則PB＝．

∴∠ABP＋∠APB＝90°

又∵∠BPC＝90°

∴∠APB＋∠DPC＝90°

∴∠ABP＝∠DPC

∴△APB∽△DCP

∴ ＝  即  ＝

∴PC＝2

（2）tan∠PEF的值不變

理由：過F作FG⊥AD，垂足為G，

則四邊形ABFG是矩形

∴∠A＝∠PFG＝90°，GF＝AB＝2

∴∠AEP＋∠APE＝90°

又∵∠EPF＝90°

∴∠APE＋∠GPF＝90°

∴∠AEP＝∠GPF

∴△APE∽△GPF

∴ ＝ ＝ ＝2

∴Rt△EPF中，tan∠PEF＝＝2

∴tan∠PEF的值不變

（3）線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過的路線長為