Question

（2011•自貢）如圖，一根木棒（AB）長(zhǎng)為2a，斜靠在與地面（OM）垂直的墻壁（ON）上，與地面的傾斜角（∠ABO）為60°，當(dāng)木棒A端沿N0向下滑動(dòng)到A′，AA′=(

3

-

2

)a，B端沿直線(xiàn)OM向右滑動(dòng)到B′，則木棒中點(diǎn)從P隨之運(yùn)動(dòng)到P′所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為

1

12

aπ

．

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半得到OP=

1

2

AB=

1

2

A′B′=OP′，即P是隨之運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)是一段圓�。辉赗t△AOB中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠AOP=30°，OA=

3

a，則易求出OA′=OA-AA′=

2

a，即可得到△A′OB′為等腰直角三角形，得到∠A′B′O=45°，則∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=15°，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解答：解：連接OP、OP′，如圖，
∵ON⊥OM，P為AB中點(diǎn)，
∴OP=

1

2

AB=

1

2

A′B′=OP′，
∵AB=2a
∴OP=a，
當(dāng)A端下滑B端右滑時(shí)，AB的中點(diǎn)P到O的距離始終為定長(zhǎng)a，
∴P是隨之運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)是一段圓弧，
∵∠ABO=60°，
∴∠AOP=30°，OA=

3

a，
∵AA′=（

3

-

2

）a，OA′=OA-AA′=

2

a，
∴sin∠A′B′O=

OA′

A′B′

=

2

2

，
∴∠A′B′O=45°，
∴∠A′OP'=45°
∴∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=15°，
∴弧PP′的長(zhǎng)=

15•π•a

180

=

1

12

πa，
即P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P′所經(jīng)過(guò)路線(xiàn)PP′的長(zhǎng)為

1

12

πa．
故答案為：

1

12

πa．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長(zhǎng)公式：l=

n•π•R

180

（n為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，R為半徑）．也考查了直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和等腰直角三角形的性質(zhì)．