Question

已知矩形ABCD，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O．

（1）如圖①，連接AF、CE，求證四邊形AFCE是菱形；

（2）求AF的長(zhǎng)；

（3）如圖②，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周，即點(diǎn)P自停止，點(diǎn)Q自停止，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）先證明四邊形AFCE為平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；根據(jù)勾股定理即可求得AF的長(zhǎng)；（2）AF=5cm；（3）t=

【解析】

試題分析：（1）先證明四邊形AFCE為平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；

（2）根據(jù)勾股定理即可求得AF的長(zhǎng)；

（3）分情況討論可知，當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可.

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足為O，

∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴四邊形AFCE為平行四邊形，

又∵EF⊥AC，

∴四邊形AFCE為菱形，

（2）設(shè)菱形的邊長(zhǎng)AF=CF=xcm，則BF=（8-x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，

由勾股定理得4²+（8-x）²=x²，

解得x=5，

∴AF=5cm；

（3）顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí)，Q點(diǎn)在CD上，此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；

同理P點(diǎn)在AB上時(shí)，Q點(diǎn)在DE或CE上或P在BF，Q在CD時(shí)不構(gòu)成平行四邊形，也不能構(gòu)成平行四邊形．

因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，

∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC=QA，

∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

∴PC=5t，QA=12-4t，

∴5t=12-4t，解得t=

∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t=秒.

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：本題知識(shí)點(diǎn)多，綜合性較強(qiáng)，一般是中考?jí)狠S題，要注意分類思想的應(yīng)用．