Question

在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點B的坐標為（0，4），BC平分∠ABO交x軸于點C（，0）．點P是線段AB上一個動點（點P不與點A，B重合），過點P作AB的垂線分別與x軸交于點D，與y軸交于點E，DF平分∠PDO交y軸于點F．設點D的橫坐標為t．

   （1）如圖1，當時，求證：DF∥CB；

   （2）當時，在圖2中補全圖形，判斷直線DF與CB的位置關系，并證明你的結論；

   （3）若點M的坐標為（，），在點P運動的過程中，當△MCE的面積等于△BCO面積的倍時，直接寫出此時點E的坐標．

   （1）證明：

   （2）直線DF與CB的位置關系是：                 ．

        證明：

   （3）點E的坐標為                  ．

Answer 1

∵在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點B的坐標為（0，4），

∴．

∵DP⊥AB于點P，

∴．

∵在四邊形DPBO中，，

∴．

∴．  

∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，

∴，．

∴

．

∵在△FDO中，，

∴．

∴DF∥CB．  

  （2）直線DF與CB的位置關系是： DF⊥CB．  

       證明：延長DF交CB于點Q，如圖2．

∵在△ABO中，，

∴．

∵在△APD中，，

∴．

∴．

∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，

∴，．

∴．  

∵在△CBO中，，

∴．

∴在△QCD中， ．

∴DF⊥CB．  

  （3）點E的坐標為（，）或（，）．