Question

△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐標(biāo)系中，使AB的中點位于坐標(biāo)原點O(如圖)，△ABC可以繞點O作任意角度的旋轉(zhuǎn)．

(1)　當(dāng)點B在第一象限，縱坐標(biāo)是時，求點B的橫坐標(biāo)；

(2)　如果拋物線(a≠0)的對稱軸經(jīng)過點C，請你探究：

①　當(dāng)，，時，A，B兩點是否都在這條拋物線上？并說明理由；

②　設(shè)b=-2am，是否存在這樣的m的值，使A，B兩點不可能同時在這條拋物線上？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：(1)　 ∵　點O是AB的中點，　∴　．                         

設(shè)點B的橫坐標(biāo)是x(x>0)，則，                                         

解得　，(舍去)． 

∴　點B的橫坐標(biāo)是．                                                                      

(2)　①　當(dāng)，，時，得　　

．                                                                       

以下分兩種情況討論．

情況1：設(shè)點C在第一象限(如圖甲)，則點C的橫坐標(biāo)為，

．            

由此，可求得點C的坐標(biāo)為(，)，   

點A的坐標(biāo)為(，)，

∵　A， B兩點關(guān)于原點對稱，

∴　點B的坐標(biāo)為(，)．

將點A的橫坐標(biāo)代入(＊)式右邊，計算得，即等于點A的縱坐標(biāo)；

將點B的橫坐標(biāo)代入(＊)式右邊，計算得，即等于點B的縱坐標(biāo)．

∴　在這種情況下，A，B兩點都在拋物線上．                                       

情況2：設(shè)點C在第四象限(如圖乙)，則點C的坐標(biāo)為(，-)，

點A的坐標(biāo)為(，)，點B的坐標(biāo)為(，)．

經(jīng)計算，A，B兩點都不在這條拋物線上．                   　                         　

(情況2另解：經(jīng)判斷，如果A，B兩點都在這條拋物線上，那么拋物線將開口向下，而已知的拋物線開口向上．所以A，B兩點不可能都在這條拋物線上)

②　存在．m的值是1或-1．                                                                  

(，因為這條拋物線的對稱軸經(jīng)過點C，所以-1≤m≤1．當(dāng)m=±1時，點C在x軸上，此時A，B兩點都在y軸上．因此當(dāng)m=±1時，A，B兩點不可能同時在這條拋物線上)