Question

平面上的點(diǎn)M關(guān)于直線l有唯一的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，這樣平面上的任意一點(diǎn)就與該點(diǎn)關(guān)于這條直線的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)之間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們把這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做點(diǎn)M關(guān)于直線l的軸對(duì)稱(chēng)變換，記為，點(diǎn)M的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)就記為M′（l），如圖（1）所示．如果先作平面上的點(diǎn)M關(guān)于直線l的軸對(duì)稱(chēng)變換，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′（l），然后，再作M′（l）關(guān)于另外一條直線m的軸對(duì)稱(chēng)變換，這樣點(diǎn)M就與該點(diǎn)關(guān)于直線l和m的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′′（l，m）之間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們把這種對(duì)應(yīng)關(guān)系就叫做點(diǎn)M關(guān)于直線l和m的軸對(duì)稱(chēng)變換，記為，M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)就記為M′′（l，m）．如圖（2），M是平面上的一點(diǎn)，直線l、m相交所成的角為θ（0°＜θ≤90°），且交點(diǎn)為O，請(qǐng)回答如下問(wèn)題：
（1）在圖（2）中，求作M′（l）和M′′（l，m）．（要求保留作圖痕跡）
（2）當(dāng)θ=______°時(shí)，M與M′′（l，m）關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)．
（A）30（B）45（C）60（D）90
（3）（在以下兩題中任選一題作答）
①試探討∠MOM′′（l，m）與θ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
②試探討OM與OM′′（l，m）間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）應(yīng)先做M關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，再做M′關(guān)于m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M″．
（2）成中心對(duì)稱(chēng)，應(yīng)和O在同一直線上，那么∠MOM''=180°，翻折兩次，可得到θ=90°．
（3）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)作答即可．
解答：解：（1）每畫(huà)對(duì)一個(gè)給（2分）．（4分）

（2）90°，故選D．（7分）

（3）①判斷：∠MOM″（l，m）=2∠θ．（8分）
證明：如圖（1），由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知，l垂直平分MM′（l），
則△OMM′（l）為等腰三角形．（10分）
∵∠1=∠2．同理∠3=∠4，（11分）
∴∠MOM″（l，m）=2∠θ．（12分）

②判斷：OM=OM″（l，m）．
證明：如圖（2），連接OM、OM′（l）、OM″（l，m）．
∵M(jìn)，M′（l）關(guān)于直線l成軸對(duì)稱(chēng)，
∴l(xiāng)是MM′（l）的垂直平分線．
∴OM=OM′（l）．（10分）
同理可得：OM′（l）=OM″（l，m）．（11分）
∴OM=OM″（l，m）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分，可得到相應(yīng)的線段相等，角相等．