Question

已知在直角坐標平面內有雙曲線，另有△ABC，其中點A、B、C的坐標分別是A（，），B（，0），C（0，）．
（1）如果將△ABC沿x軸翻折后得到對應的△A₁B₁C₁ （其中點A、B、C的對應點分別是點A₁、B₁、C₁），問：△A₁B₁C₁的三個頂點中，有無在雙曲線上的點？若有，寫出這個點的坐標．
（2）如果將△ABC沿x軸正方向平移a個單位后，使△ABC的一個頂點落在雙曲線上，請直接寫出a的值．
（3）如果△ABC關于原點O的對稱的三角形△A₂B₂C₂（其中點A、B、C的對應點分別是點A₂、B₂、C₂），請寫出經過點A、A₂的直線所表示的函數解析式．

Answer 1

解：（1）根據關于x軸對稱的點的坐標特點，可得A₁的坐標為（-2，-），B₁的坐標為（-2，0），A₁的坐標為（0，-），
將三點代入雙曲線y=，只有點A₁，符合解析式，此時左邊=-，右邊==-，左邊=右邊．
故有在雙曲線上的點，這個點是A₁，它的坐標為（-2，-）；

（2）①平移后點A的對應點在雙曲線上，此時點A的對應點的坐標為（-2+a，），
代入解析式得：=，
解得：a=4；
②平移后點C的對應點在雙曲線上，此時點A的對應點的坐標為（a，），
代入解析式得：=，
解得：a=2；
綜上可得a=2或a=4；

（3）點A（-2，）關于原點對稱的點A₂的坐標為（2，-），
設過點A、A2的直線解析式為y=kx+b，則，
解得：，
故直線AA₂的解析式是．
分析：（1）分別將A、B、C三點關于x軸對應點的坐標代入雙曲線解析式，看能否滿足解析式，能滿足解析式的點，則該點在雙曲線上；
（2）因為雙曲線與x軸沒交點，所以移動后只可能是A或C的對應點在雙曲線上，分別討論即可得出答案；
（3）根據關于原點對稱的點的坐標的特點，求出點A₂的坐標，然后運用待定系數法求解析式即可．
點評：本題屬于反比例函數綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、關于原點對稱的點的坐標、函數圖象上點的坐標特征，綜合性較強，但難度一般，解答本題的關鍵是將所學知識融會貫通．