Question

如圖，拋物線y=

3

3

x2+

7 3

3

x+2

3

與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)O與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對稱，連接OD，CD，OD交AC于點(diǎn)E
（1）分別求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
（2）若反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)的圖象過點(diǎn)D，求k的值；
（3）兩動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，分別沿AO，AC的方向向點(diǎn)O，C移動(dòng)，點(diǎn)M秒移動(dòng)1個(gè)單位長度，點(diǎn)N每秒移動(dòng)2個(gè)單位長度，設(shè)△MNO的面積為S，移動(dòng)的時(shí)間為t，則S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）拋物線的解析式中，令x=0，能確定拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（即C點(diǎn)坐標(biāo)）；令y=0，能確定拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（即A、B的坐標(biāo)）．
（2）欲求出反比例函數(shù)的解析式，需要先得到D點(diǎn)的坐標(biāo)．已知A、C的坐標(biāo)，易判斷出△OAC是含特殊角的直角三角形，結(jié)合O、D關(guān)于直線AC對稱，可得出OD的長，結(jié)合∠DOA的度數(shù)，即可得到D點(diǎn)的坐標(biāo)，由此得解．
（4）首先用t列出AM、AN的表達(dá)式，進(jìn)而可得到N到x軸的距離，以O(shè)M為底、N到x軸的距離為高，可得到關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到S的最大值及此時(shí)t的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A、B均在x軸上，
令y=0，即

3

3

x2+

7 3

3

x+2

3

=0；
解得 x₁=-6，x₂=-1，
∴A（-6，0）、B（-1，0）．
令x=0，即y=2

3

，
∴C（0，2

3

）．
綜上所述，A（-6，0）、B（-1，0）、C（0，2

3

）．


（2）如圖，∵由A（-6，0）、C（0，2

3

）得：OA=6，OC=2

3

，
∴cot∠OAC=

6

2 3

=

3

，
∴∠OAC=30°．
∵D與O點(diǎn)關(guān)于AC對稱，
∴OD=OA=6，∠DOA=60°，
∴D（-3，3

3

）．
∵反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)的圖象過點(diǎn)D，
∴3

3

=

k

-3

，
∴k=-9

3

．

（3）存在，理由如下：
設(shè)AM=t（0＜t＜6），則AN=2t，易求AC=4

3

．
當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，t=2

3

．
∵2

3

＜6，
∴點(diǎn)M繼續(xù)向右移動(dòng)，
∴當(dāng)2

3

＜t＜6時(shí)，t越大，△MNO的面積越�。�
當(dāng)t=2

3

時(shí)，S=

1

2

×2

3

×（6-2

3

）=6

3

-6．
當(dāng)0＜t＜2

3

時(shí)，S_△MNO=

1

2

•（6-t）•t=-（t-3）²+

9

2

，即當(dāng)t=3時(shí)，S有最大值

9

2

．
∵

9

2

＞6

3

-6，
∴當(dāng)t=3時(shí)，S有最大值

9

2

．

點(diǎn)評：該題考查的知識(shí)點(diǎn)有：函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖形面積的解法等，在解答動(dòng)點(diǎn)函數(shù)問題時(shí)，一定要注意未知數(shù)的取值范圍．