Question

已知n為正整數，且2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴是一個完全平方數，則n的值為

1009或4024

．

Answer 1

分析：本題分兩種情況討論n的取值．把4⁷+4ⁿ+4¹⁹⁹⁸化簡為完全平方式的形式，根據化簡后的式子得出n．

解答：解：（1）2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴
=2²+2•2•2^n-2+（2¹⁰⁰⁷）²
∵2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴是一個完全平方數．
∴2^n-2=2¹⁰⁰⁷
即n-2=1007．
∴當n=1009時，2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴是一個完全平方數；

（2）2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴=2²+2²⁰¹⁴+2ⁿ，
=2²+2•2•2²⁰¹²+2ⁿ，
∵2²+2ⁿ+2²⁰¹⁴是一個完全平方數．
∴2012×2=n
∴n=4024．
綜上得n=1009或n=4024，
故答案為：1009或4024．

點評：本題考查了完全平方數的概念，如果一個數是一個完全平方數，那么一定可以表示為一個數的平方．