Question

如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），∠OBA=90°，∠AOB=30°，點(diǎn)C為OB中點(diǎn)．點(diǎn)D從O點(diǎn)出發(fā)，沿△OAB的三邊按逆時(shí)針方向以2個(gè)單位長度/秒的速度運(yùn)動(dòng)一周，設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

；當(dāng)t=

 

 秒時(shí)，BD=4；
（2）設(shè)O、C、D三點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為S，求S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）點(diǎn)E在線段AB上以1個(gè)單位長度/秒的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，如圖（2）．若點(diǎn)E與點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，在運(yùn)動(dòng)4秒鐘內(nèi)，t為何值時(shí)，以點(diǎn)D、A、E為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似？

Answer 1

分析：（1）過C點(diǎn)作CM⊥OA，求出CM，OM的長，即可求出C的坐標(biāo)，確定出當(dāng)BD=4時(shí)，D所在的位置即可求出t的值．
（2）本題分點(diǎn)D在OA上，AB上DB上三種情況討論，分別求出S與t的關(guān)系即可．
（3）本題需分DE∥OB和DE⊥OA兩種情況討論，根據(jù)三角形相似列出比例式，即可求出t的值．

解答：解：（1）過點(diǎn)C作CM⊥OA，垂足為點(diǎn)M
∵∠AOB=30°，∠OBA=90°
∴cos=30°=

OB

OA

∴

3

2

=

OB

8

∴OB=4

3

，
∵點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，
∴OC=2

3

，
∴CM=

1

2

OC=

3

，
OM=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，

3

），
當(dāng)點(diǎn)D在OA的中點(diǎn)上時(shí)，BD=4，t=2；
當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，BD=4，t=4；
當(dāng)點(diǎn)D在BO上，且BD=4時(shí)，t=8；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
S_△OCD=

1

2

OD•CM=

1

2

×2t×

3

=

3

t，
當(dāng)點(diǎn)D在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∴S_△OCD=S_△AOB-S_△BCD-S_△AOD，
=

1

2

×4×4

3

-

1

2

×2

3

×（12-2t）-

1

2

×8×

3

（t-4），
=12

3

-2

3

t，
所以點(diǎn)D在OB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S_△OCD=0．

（3）過點(diǎn)E作FE∥OB，則△AFE∽△AOB，

AF

AO

=

AE

AB

，

8-2t

8

=

t

4

，
t=2，
當(dāng)ED⊥OA時(shí)，△ADE∽△ABO，
則

AD

AB

=

AE

AO

，

8-2t

4

=

t

8

，
t=

16

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，在解題時(shí)要根據(jù)已知條件分情況進(jìn)行討論，不要漏掉這是解題的關(guān)鍵．