Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，延長BA到E，使AE=CD，連接DE．
（1）試說明：△DEB是等腰三角形；
（2）若CD﹕AB=3﹕5，過點(diǎn)B作BF⊥DE于F，且BF平分∠ABC，求△BEF與四邊形BCDF的面積之比；
（3）在（2）的條件下，求cos∠FDB的值．

Answer 1

考點(diǎn)：梯形,等腰三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）通過SAS證得△DAE≌△BCD，則其對(duì)應(yīng)邊相等：DE=BD，故△DEB是等腰三角形；
（2）延長ED和BC交于O，構(gòu)建全等三角形△EBF≌△OBF（ASA）、相似三角形△OCD∽△OBE，利用全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)來求△BEF與四邊形BCDF的面積之比；
（3）欲求cos∠FDB的值，只需求得DF與BD的比值即可，所以將其轉(zhuǎn)化為求DF與DE的比值來解答．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA，DC∥AB，
∴∠C+∠CBA=180°，
∵∠DAE+∠DAB=180°，
∴∠C=∠DAE，
在△DAE和△BCD中，

AE=CD ∠DAE=∠C AD=BC

，
∴△DAE≌△BCD（SAS）；
∴DE=BD，
∴△DEB是等腰三角形；

（2）設(shè)DC=3a，AB=5a，
延長ED和BC交于O，
∵BF⊥DE，BF平分∠ABC，
∴∠BFE=∠BFO=90°，∠OBF=∠EBF，
在△EBF和△OBF中，

∠BFE=∠BFO BF=BF ∠EBF=∠OBF

，
∴△EBF≌△OBF（ASA），
∴S_△EBF=S_△OBF=

1

2

S_△OBE，
設(shè)△OBE的面積為x，則△EBF的面積為

1

2

x，
∵DC∥AB，
∴△OCD∽△OBE，
∴

S△OCD

S△OBE

=（

CD

BE

）²=（

3

3+5

）²=

9

64

，
∴△BEF與四邊形BCDF的面積之比：

1 2 x

1 2 x- 9 64 x

=

32

23

；

（3）在△OCD與△OEB中，∵CD：BE=OD：OE=3：8，EF=OF
∴DF：DE=1：5，
∵DE=BD，
∴DF：BD=1：5．
直角△DBF中，cos∠FDB=

DF

BD

=

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，注意此題中的輔助線的作法，以及根據(jù)已知線段間的比例關(guān)系推知線段DF與DE間的比例關(guān)系的轉(zhuǎn)化都是解題的關(guān)鍵．