如圖中,ABCD是梯形,面積是1,已知
DF
FC
=
3
4
AE
EB
=
1
5
,
DC
AB
=
c
d
,問:
(1)△ECD的面積是多少?
(2)四邊形EHFG的面積是多少?
考點:面積及等積變換
專題:
分析:(1)設梯形ABCD的AB和CD之間的高是h,求出AB=
d
c
DC,根據(jù)面積公式得出
1
2
×(AB+DC)×h=1,求出DC×h=
2c
c+d
,根據(jù)S△ECD=
1
2
×DC×h,代入求出即可;
(2)過G作ZQ⊥AB于Q,交CD延長線于Z,過H作MN⊥AB于N,交DC于M,求出ZQ=MN=h,求出DF=
3
7
DC,CF=
4
7
DC,AE=
d
6c
DC,BE=
5d
6c
DC,根據(jù)相似三角形對應高之比等于相似比得出
GZ
GQ
=
18c
7d
,求出GZ=
18c
7d+18c
h,代入S△DGF=
1
2
×DF×GZ即可求出△DGF的面積,同法求出△CFH的面積,即可求出四邊形EHFG的面積.
解答:解:(1)設梯形ABCD的AB和CD之間的高是h,
DC
AB
=
c
d
,
∴AB=
d
c
DC,
∵梯形ABCD的面積是1,
1
2
×(AB+DC)×h=1,
1
2
×(
d
c
DC+DC)×h=1,
∴DC×h=
2c
c+d

∴S△ECD=
1
2
×DC×h=
1
2
×
2c
c+d
=
c
c+d


(2)
過G作ZQ⊥AB于Q,交CD延長線于Z,過H作MN⊥AB于N,交DC于M,
∵AB∥DC,
∴QZ⊥DC,MN⊥DC,
∴ZQ=MN=h,
DF
CF
=
3
4
,
AE
BE
=
1
5
,AB=
d
c
DC,
∴DF=
3
7
DC,CF=
4
7
DC,
AE=
1
6
AB=
1
6
×
d
c
DC=
d
6c
DC,BE=
5
6
×
d
c
DC=
5d
6c
DC,
∵DC∥AB,
∴△DGF∽△EGA,
DF
AE
=
GZ
GQ
=
3
7
DC
d
6c
DC
=
18c
7d
,
∵GZ+GQ=ZQ=h,
∴GZ=
18c
7d+18c
h,
∴S△DGF=
1
2
×DF×GZ=
1
2
×
3
7
DC×
18c
7d+18c
h=
27c
7(18c+7d)
CDh=
27c
7(18c+7d)
×
2c
c+d
=
54c2
7(18c+7d)(c+d)


同理
CF
BE
=
HM
HN
=
4
7
CD
5
6
AB
=
4
7
CD
5
6
×
d
c
CD
=
24c
35d
,
∴HM=
24c
35d+24c
h
∴S△FHC=
1
2
×CF×HM=
1
2
×
4
7
CD×
24c
35d+24c
h=
48c
7(35d+24c)
×CDh=
48c
7(35d+24c)
×
2c
c+d
=
96c2
7(35d+24c)(c+d)
,
∴S四邊形EHFG=S△DEC-S△DGF-S△FHC
=
c
c+d
-
54c2
7(18c+7d)(c+d)
-
96c2
7(35d+24c)(c+d)

=
3024c2d+1715cd2
7(18c+7d)(35d+24c)(c+d)
點評:本題考查了面積和等積變換,三角形的面積,相似三角形的性質(zhì)和判定,主要考查學生的計算能力和推理能力,本題計算比較麻煩,難度偏大.
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計算:
(1)
327
+
0
-
1
4
÷
3-8

(2)
25
-
(-
1
4
)
2
+
11
1
9
-
38

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