Question

如圖中，ABCD是梯形，面積是1，已知

DF

FC

=

3

4

，

AE

EB

=

1

5

，

DC

AB

=

c

d

，問：
（1）△ECD的面積是多少？
（2）四邊形EHFG的面積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：面積及等積變換

專題：

分析：（1）設(shè)梯形ABCD的AB和CD之間的高是h，求出AB=

d

c

DC，根據(jù)面積公式得出

1

2

×（AB+DC）×h=1，求出DC×h=

2c

c+d

，根據(jù)S_△ECD=

1

2

×DC×h，代入求出即可；
（2）過G作ZQ⊥AB于Q，交CD延長線于Z，過H作MN⊥AB于N，交DC于M，求出ZQ=MN=h，求出DF=

3

7

DC，CF=

4

7

DC，AE=

d

6c

DC，BE=

5d

6c

DC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高之比等于相似比得出

GZ

GQ

=

18c

7d

，求出GZ=

18c

7d+18c

h，代入S_△DGF=

1

2

×DF×GZ即可求出△DGF的面積，同法求出△CFH的面積，即可求出四邊形EHFG的面積．

解答：解：（1）設(shè)梯形ABCD的AB和CD之間的高是h，
∵

DC

AB

=

c

d

，
∴AB=

d

c

DC，
∵梯形ABCD的面積是1，
∴

1

2

×（AB+DC）×h=1，
∴

1

2

×（

d

c

DC+DC）×h=1，
∴DC×h=

2c

c+d

，
∴S_△ECD=

1

2

×DC×h=

1

2

×

2c

c+d

=

c

c+d

；

（2）
過G作ZQ⊥AB于Q，交CD延長線于Z，過H作MN⊥AB于N，交DC于M，
∵AB∥DC，
∴QZ⊥DC，MN⊥DC，
∴ZQ=MN=h，
∵

DF

CF

=

3

4

，

AE

BE

=

1

5

，AB=

d

c

DC，
∴DF=

3

7

DC，CF=

4

7

DC，
AE=

1

6

AB=

1

6

×

d

c

DC=

d

6c

DC，BE=

5

6

×

d

c

DC=

5d

6c

DC，
∵DC∥AB，
∴△DGF∽△EGA，
∴

DF

AE

=

GZ

GQ

=

3 7 DC

d 6c DC

=

18c

7d

，
∵GZ+GQ=ZQ=h，
∴GZ=

18c

7d+18c

h，
∴S_△DGF=

1

2

×DF×GZ=

1

2

×

3

7

DC×

18c

7d+18c

h=

27c

7(18c+7d)

CDh=

27c

7(18c+7d)

×

2c

c+d

=

54c2

7(18c+7d)(c+d)

，

同理

CF

BE

=

HM

HN

=

4 7 CD

5 6 AB

=

4 7 CD

5 6 × d c CD

=

24c

35d

，
∴HM=

24c

35d+24c

h
∴S_△FHC=

1

2

×CF×HM=

1

2

×

4

7

CD×

24c

35d+24c

h=

48c

7(35d+24c)

×CDh=

48c

7(35d+24c)

×

2c

c+d

=

96c2

7(35d+24c)(c+d)

，
∴S_{四邊形EHFG}=S_△DEC-S_△DGF-S_△FHC
=

c

c+d

-

54c2

7(18c+7d)(c+d)

-

96c2

7(35d+24c)(c+d)

=

3024c2d+1715cd2

7(18c+7d)(35d+24c)(c+d)

．

點(diǎn)評：本題考查了面積和等積變換，三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和推理能力，本題計(jì)算比較麻煩，難度偏大．