Question

在矩形ABCD中，連接AC，已知AD：AC=4：5，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE交射線DC于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)點(diǎn)F在DC上時(shí)，如圖1所示，求證：+CF=AB；
（2）當(dāng)點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示，AF交BC于點(diǎn)K，連接EF交射線AB于點(diǎn)G，將△ACF沿著直線AF翻折，翻折后直線AC交EF于點(diǎn)H，若AG=，GF：AC=4：7，求KH的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用相似三角形的判定得出△ADF∽△ABE進(jìn)而得出AD：AB=4：3，即可得出DF=BE進(jìn)而求出+CF=AB；
（2）首先利用平行線的性質(zhì)得出==，再證明△PAG∽△PEA，求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出△AOK∽△EOH和△AOE∽△KOH，得出∠AEO=∠KHO=45°，
在△AKH中，tan∠KAH=tan∠KEH====，求出KN即可得出HK的長(zhǎng)．
解答：解：（1）∵AF⊥AE，
∴∠3+∠1=90°，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠D=∠ABE=90°，
∴△ADF∽△ABE，
∴=，
∵AD：AC=4：5，
∴AD：AB=4：3，
∴DF=BE，
∵AB=CD，DF+FC=CD，
∴+CF=AB；

（2）如圖2，分別延長(zhǎng)AC、EF交于點(diǎn)P，過點(diǎn)K作KN⊥AH于點(diǎn)N，
∵CF∥AG   
∴=，
∵CF∥AG，
=，
∴==，
由題知∠AEB+∠EAB=90°，∠KAB+∠EAB=90°
∴∠AEB=∠KAB
可得∠ACB=∠AFE，又∵∠AKC=∠EKF，
且∠CAK=180°-∠ACB-∠AKC，∠FEK=180°-∠AFE-∠EKF，
∴∠CAK=∠FEK
∴∠CAK+∠KAB=∠FEK+∠AEB，即∠PAG=∠PEA
又∵∠P=∠P
∴△PAG∽△PEA  
∴=，
又∵=，
=，
∵AG=，
∴AE=6，
在△AEG中，AE=6，AG=，tan∠AEG=，可以得到∠EAB=45°，
∴AB=BE=6，BG=，
由題意可知∠KAC=∠KAH，∴∠KAO=∠HEO
∵∠AOK=∠EOH
∴△AOK∽△EOH，∴∠EHO=∠AKO，且=，=，
又∠AOE=∠KOH，
∴△AOE∽△KOH，
∠AEO=∠KHO=45°，
在△AKH中，
tan∠KAH=tan∠KEH====，
∵AK=6，
∴設(shè)AN=7x，則KN=x，
則AK²=AN²+KN²，
即（6）²=（7x）²+x²，
解得：x=，
∵∠KHO=45°，∠KNH=90°，
則HK==．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)已知得出AK的長(zhǎng)以及得出∠KHO=45°是解題關(guān)鍵．