Question

已知：∠MAN=60°，點(diǎn)B在射線AM上，AB=4（如圖），P為直線AN上一動(dòng)點(diǎn)，以BP為邊作等邊三角形BPQ（點(diǎn)B，P，Q按順時(shí)針排列），O是△BPQ的外心。

（1）當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：點(diǎn)O在∠MAN的平分線上；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合）時(shí)，AO與BP交于點(diǎn)C，設(shè)AP=x，AC·AO=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）若點(diǎn)D在射線AN上，AD=2，圓I為△ABD的內(nèi)切圓．當(dāng)△BPQ的邊BP或BQ與圓I相切時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離。

Answer 1

解：（1）證明：如圖： 連結(jié)OB，OP， ∵O是等邊三角形BPQ的外心， ∴OB=OP， 圓心角， 當(dāng)OB不垂直于AM時(shí)，作OH⊥AM，OT⊥AN，垂足分別為H，T， 由，且∠A=60°， ， ∴， ∴， ∴， ∴OH=OT， ∴點(diǎn)O在∠MAN的平分線上 當(dāng)時(shí)，， 即OP⊥AN， ∴點(diǎn)O在∠MAN的平分線上， 綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)O在∠MAN的平分線上；
（2）如圖： ∵AO平分∠MAN，且∠MAN=60°， ∴， 由（1）知，OB=OP，∠BOP=120°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴y=4x， 定義域?yàn)閤>0；
（3）①如圖1：當(dāng)BP與圓I相切時(shí)，AO=， ②如圖2，當(dāng)BP與圓I相切時(shí)，AO=； ③如圖3，當(dāng)BQ與圓I相切時(shí)，AO=0。