Question

實(shí)數(shù)k取何值時(shí)，一元二次方程x²-（2k-3）x+2k-4=0
（1）有兩個(gè)正根；
（2）有兩個(gè)異號(hào)根，且正根的絕對(duì)值較大；
（3）一個(gè)根大于3，一個(gè)根小于3．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根，則判別式△≥0，并且兩根的和大于0，且兩根的積大于0，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得到關(guān)于k的不等式組，即可求得k的范圍；
（2）根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則判別式△＞0，并且正根的絕對(duì)值較大，則兩根的和大于0，且兩根的積小于0，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得到關(guān)于k的不等式組，即可求得k的范圍；
（3）設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x₁、x₂，根據(jù)題意，得（x₁-3）（x₂-3）＜0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求得k的取值范圍，再根據(jù)△＞0確定k的范圍．

解答：解：（1）設(shè)方程的兩個(gè)正根為x₁、x₂，則：
△=（2k-3）²-4（2k-4）≥0 ①，
x₁+x₂=2k-3＞0，x₁x₂=2k-4＞0 ②，
解①，得：k為任意實(shí)數(shù)，
解②，得：k＞2，
所以k的取值范圍是k＞2；

（2）設(shè)方程的兩個(gè)根為x₁、x₂，則：
△=（2k-3）²-4（2k-4）＞0 ①，
x₁+x₂=2k-3＞0，x₁x₂=2k-4＜0 ②，
解①，得：k≠

5

2

，
解②，得：

3

2

＜k＜2，
所以k的取值范圍是

3

2

＜k＜2；

（2）設(shè)方程的兩個(gè)根為x₁、x₂，則：
△=（2k-3）²-4（2k-4）＞0 ①，
（x₁-3）（x₂-3）＜0 ②，
解①，得：k≠

5

2

，
由②，得：x₁x₂-3（x₁+x₂）+9＜0，
又x₁+x₂=2k-3＞0，x₁x₂=2k-4，
代入整理，得-4k+14＜0，
解得k＞

7

2

．
則k＞

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要是一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系的運(yùn)用，在已知方程的一根x₁比常數(shù)a大，一根x₂比常數(shù)a小的時(shí)候，可列（x₁-a）（x₂-a）＜0的不等式分析求解．