Question

如圖所示，已知正方形OABC的面積為9，點(diǎn)B在函數(shù)y=

k

x

(k＞0，x＞0)的圖象上，點(diǎn)P（m，n）（6≤m≤9）是函數(shù)y=

k

x

(k＞0，x＞0)的圖象上動點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，若設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合的兩部分的面積和為S．
（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)和k的值；
（2）寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系和S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由四邊形OABC為正方形，面積為9，求出正方形的邊長為3，得到AB與OA為3，由B在第一象限確定出B的坐標(biāo)，將B坐標(biāo)代入反比例解析式中，即可求出k的值；
（2）由P的坐標(biāo)，表示PE與OE，由OE-OA表示出AE的長，矩形OEPF和正方形OABC不重合的兩部分為矩形，面積為PE與AE乘積，再由P在反比例函數(shù)圖象上，將P坐標(biāo)代入反比例解析式，用m表示出n，列出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，由m的范圍，得出反比例函數(shù)p=

27

m

為減函數(shù)，可得出S為關(guān)于m的增函數(shù)，將m的最大值9代入，即可求出S的最大值．

解答：解：（1）∵正方形OABC的面積為9，
∴正方形OABC的邊長為3，即OA=3，AB=3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）；
又∵點(diǎn)B是函數(shù)

k

x

的圖象上的一點(diǎn)，
∴3=

k

3

，
∴k=9；
（2）由6≤m≤9，得到點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，則PE=n，AE=m-3，
∴S=PE•AE+CF•BC=n（m-3）+3（3-n）=

9

m

（m-3）+9-3n=18-3n-

27

m

，
當(dāng)6≤m≤9時(shí)，反比例函數(shù)p=

27

m

為減函數(shù)，S為關(guān)于m的增函數(shù)，
∴當(dāng)m=9時(shí)，S取得最大值，此時(shí)最大值為18-3-

27

9

=15-3=12．

點(diǎn)評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．