已知A,A是拋物線y=
1
2
x2上兩點,A1B1,A3B3分別垂直于x軸,垂足分別為B1,B3,點C是線段A1A3的中點,過點C作CB2垂直于x軸,垂足為B2,CB2交拋物線于點A2

(1)如圖1,已知A1,A3兩點的橫坐標依次為1,3,求線段CA2的長;
(2)如圖2,若將拋物線y=
1
2
x2改為拋物線y=
1
2
x2-x+1,且A1,A2,A3三點的橫坐標為連續(xù)的整數(shù),其他條件不變,求線段CA2的長;
(3)若將拋物線y=
1
2
x2改為拋物線y=ax2+bx+c(a>0),A1,A2,A3三點的橫坐標為連續(xù)整數(shù),其他條件不變,試猜想線段CA2的長(用a,b,c表示,并直接寫出答案).
(1)∵A1,A3的橫坐標依次為1,3,
∴A1B1=
1
2
×12=
1
2
,A3B3=
1
2
×32=
9
2

由已知可得A1B1CB2A3B3
又∵C為A1A3的中點,
∴B2為B1B3的中點,
∴B2點的橫坐標為2,
∴A2B2=
1
2
×22=2,
而CB2=
1
2
(A1B1+A3B3
=
1
2
1
2
+
9
2
)+
5
2

∴CA2=CB2-A2B2=
5
2
-2
=
1
2


(2)設A1,A2,A3三點的橫坐標依次為n-1,n,n+1,
則A1B1=
1
2
(n-1)2-(n-1)+1,A2B2=
1
2
n2-n+1,
A3B3=
1
2
(n+1)2-(n+1)+1,
由已知可得A1B1A3B3AB2,
∴CB2=
1
2
(A1B1+A3B3
=
1
2
[
1
2
(n-1)2-(n-1)+1+
1
2
(n+1)2-(n+1)+1]
=
1
2
n2-n+
3
2
,
∴CA2=CB2-A2B2=
1
2
n2-n+
3
2
-(
1
2
n2-n+1)=
1
2


(3)當a>0時,CA2=a.
練習冊系列答案
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2
3
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8
3
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