Question

【題目】如圖 1，在等腰直角△ABC 中，∠A =90°，AB=AC=3，在邊 AB 上取一點 D（點 D 不與點 A，B 重合），在邊 AC 上取一點 E，使 AE=AD，連接 DE. 把△ADE 繞點 A 逆時針方向旋轉α（0°＜α＜360°），如圖 2．

（1）請你在圖 2 中，連接 CE 和 BD，判斷線段 CE 和 BD 的數(shù)量關系，并說明理由；

（2）請你在圖 3 中，畫出當α =45°時的圖形，連接 CE 和 BE，求出此時△CBE 的面積；

（3）若 AD=1，點 M 是 CD 的中點，在△ADE 繞點 A 逆時針方向旋轉的過程中，線段AM 的最小值是 ．

Answer 1

【答案】（1）CE＝BD，理由見解析；（2）圖形見解析，；（3）1．

【解析】

（1）連接CE和BD，求出∠EAC＝∠DAB，即可利用SAS證明△AEC≌△ADB，進而得到CE＝BD；

（2）連接CE和BE，延長AD交BC于F，首先求出∠BAF＝∠CAF＝∠EAC＝45°，然后可得AF＝BF＝CF，∠EAB＝135°，進而證明AE∥BC，再根據(jù)進行計算；

（3）判斷出在△ADE繞點A逆時針方向旋轉的過程中，點M在以G為圓心，長為半徑的圓上，即可得到點M與點E重合時AM取最小值．

解：（1）CE＝BD；

理由：連接CE和BD，如圖2所示，

由題意可知，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∵∠EAD＝∠CAB＝90°，

∴∠EAC＝∠DAB，

又∵AE＝AD，AC＝AB，

∴△AEC≌△ADB(SAS)，

∴CE＝BD；

（2）當α =45°時，連接CE和BE，如圖所示，延長AD交BC于F，

∵α =45°，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴∠BAF＝∠CAF＝∠EAC＝45°，

∴AF＝BF＝CF，∠EAB＝135°，

∴∠EAB＋∠ABC＝135°+45°＝180°，

∴AE∥BC，

∵BC＝，

∴AF＝，

∴；

（3）如圖4，當點M不在AC上時，取AC中點G，連接GM，

∵M是CD′的中點，

∴GM＝，

當點M在AC上時，由M是CD′的中點可得GM＝，

∴在△ADE繞點A逆時針方向旋轉的過程中，點M在以G為圓心，長為半徑的圓上，

∴當點M與點E重合時AM取最小值，此時AM＝AE＝1．