Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒2cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜6），過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F．

（1）試用含t的式子表示AE、AD的長(zhǎng)；
（2）如圖①，在D、E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形AEFD是平行四邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）連接DE，當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？
（4）如圖②，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，試問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形 AEA′D為菱形？并判斷此時(shí)點(diǎn)A是否在BC上？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意直接表示出來(lái)即可；
（2）由“在直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”求得DF=t，又AE=t，則DF=AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四邊形AEFD的對(duì)邊平行且相等”，由此得四邊形AEFD是平行四邊形；
（3）①顯然∠DFE＜90°；
②如圖（1），當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形，此時(shí) AE=

1

2

AD，根據(jù)題意，列出關(guān)于t的方程，通過(guò)解方程來(lái)求t的值；
③如圖（2），當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，此時(shí)∠ADE=90°-∠A=30°，此時(shí)AD=

1

2

AE，根據(jù)題意，列出關(guān)于t的方程，通過(guò)解方程來(lái)求t的值；
（4）如圖（3），若四邊形AEA′D為菱形，則AE=AD，則t=12-2t，所以t=4．即當(dāng)t=4時(shí)，四邊形AEA′D為菱形．

解答：解：（1）AE=t，AD=12-2t；

（2）∵DF⊥BC，∠C=30°
∴DF=

1

2

CD=

1

2

×2t=t
∵AE=t
∴DF=AE，
∵∠ABC=90°，DF⊥BC
∴DF∥AE，
∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（3）①顯然∠DFE＜90°；
②如圖（1），當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形，
此時(shí) AE=

1

2

AD∴t=

1

2

(12-2t)
∴t=3，
③如圖（2），當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，此時(shí)∠ADE=90°
∴∠AED=90°-∠A=30°
∴AD=

1

2

AE∴12-2t=

1

2

t
∴t=

24

5

，
綜上：當(dāng)t=3秒或t=

24

5

秒時(shí)，△DEF為直角三角形；

（4）如圖（3），若四邊形AEA′D為菱形，則AE=AD
∴t=12-2t
∴t=4
∴當(dāng)t=4時(shí)，四邊形AEA′D為菱形，
設(shè)EA′交BC于點(diǎn)G
在Rt△EBG中，∠BEG=180°-∠AEG=60°
∴GE=2BE
∵BE=AB-AE=6-4=2
∴GE=4=EA′，
∴點(diǎn)G與點(diǎn)A′重合
∴點(diǎn)A在BC上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形綜合題．解題時(shí)，需要綜合運(yùn)用矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)．另外，解題時(shí)，需要分類討論．