Question

（2013•常州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（6，0），點B（0，6），動點C在以半徑為3的⊙O上，連接OC，過O點作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點D（其中點C、O、D按逆時針方向排列），連接AB．
（1）當(dāng)OC∥AB時，∠BOC的度數(shù)為

45°或135°

；
（2）連接AC，BC，當(dāng)點C在⊙O上運動到什么位置時，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積的最大值．
（3）連接AD，當(dāng)OC∥AD時，
①求出點C的坐標(biāo)；②直線BC是否為⊙O的切線？請作出判斷，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點A和點B坐標(biāo)易得△OAB為等腰直角三角形，則∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以當(dāng)C點在y軸左側(cè)時，有∠BOC=∠OBA=45°；當(dāng)C點在y軸右側(cè)時，有∠BOC=180°-∠OBA=135°；
（2）由△OAB為等腰直角三角形得AB=

2

OA=6

2

，根據(jù)三角形面積公式得到當(dāng)點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，此時C點到AB的距離的最大值為CE的長然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)計算出OE，然后計算△ABC的面積；
（3）①過C點作CF⊥x軸于F，易證Rt△OCF∽Rt△AOD，則

CF

OD

=

OC

OA

，即

CF

3

=

3

6

，解得CF=

3

2

，再利用勾股定理計算出OF=

3 3

2

，則可得到C點坐標(biāo)；
②由于OC=3，OF=

3

2

，所以∠COF=30°，則可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根據(jù)“SAS”判斷△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADC=90°，再根據(jù)切線的判定定理可確定直線BC為⊙O的切線．

解答：解：（1）∵點A（6，0），點B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴當(dāng)C點在y軸左側(cè)時，∠BOC=∠OBA=45°；
當(dāng)C點在y軸右側(cè)時，∠BOC=180°-∠OBA=135°；

（2）∵△OAB為等腰直角三角形，
∴AB=

2

OA=6

2

，
∴當(dāng)點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，
過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，如圖，此時C點到AB的距離的最大值為CE的長，
∵△OAB為等腰直角三角形，
∴AB=

2

OA=6

2

，
∴OE=

1

2

AB=3

2

，
∴CE=OC+OE=3+3

2

，
△ABC的面積=

1

2

CE•AB=

1

2

×（3+3

2

）×6

2

=9

2

+18．
∴當(dāng)點C在⊙O上運動到第三象限的角平分線與圓的交點位置時，
△ABC的面積最大，最大值為9

2

+18．

（3）①如圖，過C點作CF⊥x軸于F，
∵OC∥AD，
∴∠COF=∠DAO，
又∵∠ADO=∠CFO=90°
∴Rt△OCF∽Rt△AOD，
∴

CF

OD

=

OC

OA

，即

CF

3

=

3

6

，解得CF=

3

2

，
在Rt△OCF中，OF=

OC2-CF2

=

3 3

2

，
∴C點坐標(biāo)為（±

3 3

2

，

3

2

）；
故所求點C的坐標(biāo)為（±

3 3

2

，

3

2

）．

②當(dāng)C點坐標(biāo)為（-

3 3

2

，

3

2

）時，直線BC是⊙O的切線．理由如下：
在Rt△OCF中，OC=3，CF=

3

2

，
∴∠COF=30°，
∴∠OAD=30°，
∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，
∵在△BOC和△AOD中

OC=OD ∠BOC=∠AOD BO=AO

，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO=∠ADC=90°，
∴OC⊥BC，
∴直線BC為⊙O的切線；
當(dāng)C點坐標(biāo)為（-

3 3

2

，-

3

2

）時，顯然直線BC與⊙O相切．

點評：本題考查了圓的綜合題：掌握切線的判定定理、平行線的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練運用勾股定理和相似比進行幾何計算．