Question

如圖1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，OB=4，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OB邊所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．在x軸上取一點(diǎn)D（2，0），作一個邊長為2的等邊△PDE，此時P點(diǎn)與O點(diǎn)重合，E點(diǎn)在線段AB上（如圖）．將△PDE沿x軸向右平移，直線AB與直線ED交于點(diǎn)F，回答下列問題：
（1）找出一條與OP始終相等的線段，并說明理由；
（2）設(shè)點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為x，此時等邊△PDE與Rt△AOB重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．（圖2，圖3為備用圖）

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，從而表示出點(diǎn)P、F的坐標(biāo)，求出線段EF的長度恰好等于OP；
（2）0≤x≤2時，設(shè)PE交AB于G，證明得出△GFE為直角三角形，又因為OP=EF，從而求出S_△GFE，陰影部分面積即為S_△EPD-S_△GFE；2＜x≤4時，重疊部分為直角△PGB的面積，由OP=x，得到PB=4-x，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出PG的長，再利用30°的余弦函數(shù)值求出GB的長，利用直角邊乘積的一半即可求出面積；x＞4時△EFG在△AOB之外，y=0．
解答：解：（1）與OP始終相等的線段為EF，
證明：設(shè)等邊△PDE運(yùn)動到某位置時E點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，）（x₁≥1），
則P（x₁-1，0），則OP=x₁-1，
∵∠EDP=60°，E在直線ED上，
∴ED的解析式為y=-（x-x₁）+，
由題意可得直線AB的解析式為y=，
則直線AB和直線ED的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，-），
則EF==x₁-1=OP，
∴與OP始終相等的線段為EF；

（2）設(shè)PE交AB與點(diǎn)G，由題意可知△PDE的面積為，
當(dāng)0≤x≤2時，在圖1中∠EPB+∠GBP=60°+30°=90°，
∴PE⊥AB，
∴△EFG為直角三角形，
∵∠E=60°，EF=OP=x，
∴∠EFG=30°，
∴GE=x，GF=x，
∴S_△EFG=×EG×GF=×x×x=x²，
∴等邊△PDE與Rt△AOB重疊部分的面積y=S_△EPD-S_△GFE，即y=（0≤x≤2）；
當(dāng)2＜x≤4時，等邊△PDE與Rt△AOB重疊部分的面積為S_△PGB，
OP=x，則PB=4-x，所以PG=，GB=，且△PGB為直角三角形，
所以S_△PGB=××=；
當(dāng)x＞4時，兩個三角形相離，故y=0．
點(diǎn)評：本題考查了正三角形直角三角形面積求法及分類討論的思想，具有較強(qiáng)的綜合性．