Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上的一點，連結AE、BD且AE=AB．
（1）求證：∠ABE=∠EAD；
（2）若∠AEB=2∠ADB，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

證明：（1）在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ABE=∠EAD；

（2）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBE，
∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，
∴∠ABE=2∠ADB，
∴∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB-∠ADB=∠ADB，
∴AB=AD，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是菱形．
分析：（1）根據平行四邊形的對邊互相平行可得AD∥BC，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AEB=∠EAD，根據等邊對等角可得∠ABE=∠AEB，即可得證；
（2）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ADB=∠DBE，然后求出∠ABD=∠ADB，再根據等角對等邊求出AB=AD，然后利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．
點評：本題考查了菱形的判定，平行四邊形的性質，平行線的性質，等邊對等角的性質，等角對等邊的性質，熟練掌握平行四邊形與菱形的關系是解題的關鍵．