Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中， 一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜邊 AB在x軸上，直角頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，已知點(diǎn)A（－1，0）．

   （1）請直接寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)：B（   ，   ）、C（   ，   ）；并求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物

線解析式；

   （2）現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把頂點(diǎn)E放在線段

AB上（點(diǎn)E是不與A、B兩點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)），并使ED所在直線經(jīng)過點(diǎn)C． 此時(shí)，EF所在直線與（1）中的拋物線交于第一象限的點(diǎn)M．

 ①設(shè)AE=x，當(dāng)x為何值時(shí)，△OCE∽△OBC；

 ②在①的條件下探究：拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P使△PEM是等腰三角形，若存在，請求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）B（3，0），C（0，），（2）①x=2②存在點(diǎn)P，證明見解析

【解析】解：（1）B（3，0），C（0，）。

                ∵A（—1，0）B（3，0）

∴可設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線為 。

                又∵C（0，）在拋物線上，∴，解得。

∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式 即。

（2）①當(dāng)△OCE∽△OBC時(shí)，則。

               

∵OC=， OE=AE—AO=x－1， OB=3，∴�！鄕=2。

 ∴當(dāng)x=2時(shí)，△OCE∽△OBC。

 ②存在點(diǎn)P。

               

由①可知x=2，∴OE=1。∴E（1，0）。 此時(shí)，△CAE為等邊三角形。

 ∴∠AEC=∠A=60°。

又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=60°。

∴點(diǎn)C與點(diǎn)M關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱。

 ∵C（0，），∴M（2，）。

  過M作MN⊥x軸于點(diǎn)N（2，0），

∴MN=。 ∴ EN=1。

∴ 。

若△PEM為等腰三角形，則：

ⅰ)當(dāng)EP=EM時(shí), ∵EM=2，且點(diǎn)P在直線x=1上，∴P(1，2)或P（1，－2）。

                ⅱ）當(dāng)EM=PM時(shí)，點(diǎn)M在EP的垂直平分線上，∴P(1，2) 。        

                 ⅲ）當(dāng)PE=PM時(shí)，點(diǎn)P是線段EM的垂直平分線與直線x=1的交點(diǎn)，∴P(1，)

               ∴綜上所述，存在P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）或（1，—2）或（1，2）或（1，）時(shí)，

△EPM為等腰三角形。

（1）由已知，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和特殊角的三角函數(shù)值可求出OC和AB的長，從而求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo)。設(shè)定交點(diǎn)式，用待定系數(shù)法，求得拋物線解析式。

（2）①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解。

     ②求得EM的長，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三種情況求解即可。