Question

（2009•無(wú)錫一模）如圖，△ABC為直角三角形，∠C=90°，BC=2cm，∠A=30°；四邊形DEFG為矩形，DE=cm，EF=6cm，且點(diǎn)C、B、E、F在同一條直線上，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合．
（1）求AC的長(zhǎng)度；
（2）將Rt△ABC以每秒1 cm的速度沿矩形DEFG的邊EF向右平移，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)停止移動(dòng)，設(shè)Rt△ABC與矩形DEFG重疊部分的面積為y，請(qǐng)求出重疊面積y（cm²）與移動(dòng)時(shí)間x（s）的函數(shù)關(guān)系式（時(shí)間不包括起始與終止時(shí)刻）；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)Rt△ABC移動(dòng)至重疊部分的面積時(shí)，將Rt△ABC沿邊AB向上翻折，并使點(diǎn)C與點(diǎn)C’重合，請(qǐng)求出翻折后Rt△ABC’與矩形DEFG重疊部分的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角三角形ABC中，根據(jù)BC的長(zhǎng)和∠A的與余切值即可求出AC的長(zhǎng)；
（2）本題要找出幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：當(dāng)C與B重合、A與D重合時(shí)，x=2．當(dāng)B與F重合時(shí)，x=6；當(dāng)C與F重合時(shí)，x=8；因此本題可分三種情況：
①當(dāng)0＜x＜2時(shí)，此時(shí)重合部分是個(gè)直角三角形且與三角形ABC相似，可用它們的形似比求出重合部分的面積，
②當(dāng)2≤x≤6時(shí)，重合部分是三角形ACB，因此其面積就是三角形ABC的面積，
③當(dāng)6＜x＜8時(shí)，重合部分是個(gè)直角梯形，可參照①的思路進(jìn)行求解；
（3）可將y的值分別代入（2）的三種情況中，求出符合條件的x的值，然后用相似三角形和解直角三角形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解即可．
解答：解：（1）AC=BC•cot∠A=2（cm）；

（2）如圖（1）當(dāng)0＜x＜2時(shí)=（）²，
∴y=××2×2即y=x²；
當(dāng)2≤x≤6時(shí)y=S_△ABC=2．
如圖（2）當(dāng)6＜x＜8時(shí)，AB交FG于H，
=（）²
∴S_△FHB=（x-6）²
∴y=S_△ABC-S_△FHB=2-（x-6）²=-x²+6x-16
綜上所述：y與x的函數(shù)關(guān)系式為；

（3）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，x²=，
∴x=．
如圖（3）AB交DE于點(diǎn)M，ACˊ交DE于點(diǎn)N，
則∠AMN=∠CAB=∠BACˊ=30°
∴MN=AN
在Rt△MEB中，MB=2BE=2
∴重疊部分的周長(zhǎng)=MN+NC'+C'B+BM=AN+N'C+C'B+BMAC'+BC'+BM=2+2+2=4+2（cm）
當(dāng)6＜x＜8時(shí)，令y=，則2-（x-6）²=
∴（x-6）²=1
∴x₁=7，x₂=5（舍去）
如圖（4）Rt△MFB中FB=7-6=1
∴MF=1×cot30°=，AM=MB=2
設(shè)MN=AN=a，則NG=
∴+a+=2
∴a=
∴重疊部分周長(zhǎng)=C_△AMN=2a+AM=+2（cm）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角三角形和矩形的性質(zhì)、圖形的翻折變換、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，要注意（2）（3）小題要分類(lèi)討論，不要漏解．