Question

如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（3，0），B（8，0），與y軸交于點(diǎn)C，且AC平分∠OCB，直線l是它的對(duì)稱軸．
（1）求直線l和拋物線的解析式；
（2）直線BC與l相交于點(diǎn)D，沿直線l平移直線BC，與直線l，y軸分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，探究四邊形CDEF為菱形時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）線段CB上有一動(dòng)點(diǎn)P，從C點(diǎn)開始以每秒一個(gè)單位的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，PM⊥BC，交線段CA于點(diǎn)M，記點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△CPO與△CPM的面積之差為y，求y與t（0＜t≤6）之間的關(guān)系式，并確定在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中y的最大值．  

Answer 1

【答案】分析：（1）利用A（3，0），B（8，0）的橫坐標(biāo)，求出直線l表達(dá)式，即3與8的平均數(shù)即為l的表達(dá)式；
（2）在Rt△ABC中，求出tanB=，BC=，cosB=，然后求出D點(diǎn)坐標(biāo)，用BC-DB=10-=表示出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PL⊥OC，垂足為L(zhǎng)，則∠CPL=∠B，由題意得CP=t，則LP=CP，表示出△CPO的面積為：，在Rt△AOC中，表示出△CPM的面積為，從而得到 （0＜t≤6），進(jìn)而求出最大值．
解答：解：（1）直線l的解析式x==．
如圖，過(guò)A作AK⊥BC于點(diǎn)K，
∵AC平分∠OCB，
∴AK=OA=3，CK=OC，AB=5，
∴KB=4．
方法一：設(shè)OC=x則CB=x+4，由勾股定理得：x²+8²=（x+4）²，得x=6，
∴C的坐標(biāo)為（0，6）．
方法二：由△ABK∽△CBO得，得OC=6，
∴C的坐標(biāo)為（0，6）
設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-3）（x-8），將點(diǎn)C坐標(biāo)代入可得，
∴所求拋物線解析式為：，
即．
（2）方法一：
如圖，記直線l與x軸交于點(diǎn)N，則NB=2.5，
∵在Rt△OBC中，tanB=，BC=，
cosB=，則DN=NB•tanB==，
DB==，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．
CD=BC-DB=10-=即菱形邊長(zhǎng)為．+=，-=-5，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，-5）．
方法二：四邊形CDEF為菱形時(shí)，有兩種情況：
①當(dāng)BC往下平移時(shí)，由菱形性質(zhì)知，點(diǎn)E₁即為直線CA與對(duì)稱軸交點(diǎn)．
求得直線AC方程為：y=-2x+6，
與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為E₁（，-5）．
②當(dāng)BC往上平移時(shí)，即D點(diǎn)往上平移菱形的邊長(zhǎng)個(gè)單位得E₂．
求得直線BC：，與對(duì)稱軸交點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為y_D=，
菱形邊長(zhǎng)為y_D-y_E=-（-5）=，E₂點(diǎn)縱坐標(biāo)為：+=．                                         
∴四邊形CDEF為菱形時(shí)，E₁（，-5），E₂（，）．
（3）過(guò)點(diǎn)P作PL⊥OC，垂足為L(zhǎng)，則∠CPL=∠B，
而Rt△BOC中，sin∠B==，cos∠B=，
由題意得CP=t，則LP=CPcos∠B=，
△CPO的面積為：，
∵CA平分∠OCB，
∴∠MCP=∠OCA，
Rt△AOC中，tan∠OCA==，
∴PM=．
△CPM的面積為：，
∴ （0＜t≤6），
當(dāng)時(shí)，y有最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、函數(shù)最值、配方法等知識(shí)，是一道綜合性很強(qiáng)的題目，有一定難度．