如圖,已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點O和x軸上另一點E,頂點M的坐標(biāo)為 (2,4);矩形ABCD的頂點A與點O重合,AD、AB分別在x軸、y軸上,且AD=2,AB=3.
(1)直接寫出該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動,同時一動點P也以每秒1個單位長度的速度從A點出發(fā)沿射線AB勻速移動,設(shè)它們運動的時間為t秒(t>0),直線AB與該拋物線的交點為N(如圖2所示).
①填空:當(dāng)0<t≤3時,PN=______.(用含t的代數(shù)式表示);
②在運動的過程中,以P、N、C、D為頂點的四邊形能否成為平行四邊形?若能,請求出此時t的值,若不能,請說明理由.
③設(shè)以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S,試問S是否存在最小值?為什么?

解:(1)設(shè)所求函數(shù)關(guān)系式為y=a(x-2)2+4,
把(0,0)代入解析式得a(0-2)2+4=0,
解得,a=-1,
故函數(shù)解析式為y=-(x-2)2+4,
整理得y=-x2+4x.

(2)①∵N點縱坐標(biāo)為-x2+4x,當(dāng)x=t時,
AN=-t2+4t,
則PN=AN-AP=-t2+4t-t=-t2+3t.
②能成為平行四邊形. 理由如下:
∵PN∥CD,
∴點P運動到PN=CD=3時,四邊形PNCD即成為平行四邊形.
∵點A在x軸的非負(fù)半軸上,且N在拋物線上,
∴OA=AP=t.
∴點P,N的坐標(biāo)分別為(t,t)、(t,-t2+4t),
當(dāng)0<t≤3時,PN=-t2+3t,
∴-t2+3t=3.
此方程沒有實數(shù)根.
當(dāng)t>3時,PN=t2-3t,
∴t2-3t=3.
解得,t1=,t2=(舍去).
∴以P、N、C、D為頂點的四邊形能成為平行四邊形,此時,t=
③S存在最小值. 理由如下:
(。┊(dāng)PN=0,即t=3時,以點P,N,C,D為頂點的多邊形是三角形,此三角形的高為AD,
∴S=DC•AD=×3×2=3.
(ⅱ)當(dāng)PN≠0時,以點P,N,C,D為頂點的多邊形是四邊形.
∵PN∥CD,AD⊥CD,
∴當(dāng)0<t<3時,S=(CD+PN)•AD
=[3+(-t2+3 t)]×2
=-t2+3 t+3
=-(t-2+,其中(0<t<3),
由a=-1,0<<3,
此時S最大=
當(dāng)t=3時,S最小=3.
∴當(dāng)t>3時,S=(CD+PN)•AD
=[3+(t2-3 t)]×2
=t2-3t+3
=(t-2+
∴當(dāng)t=3時,S最小=3.
綜上所述,當(dāng)t=3時,以點P,N,C,D為頂點的多邊形面積有最小值,
這個最小值為3.
分析:(1)根據(jù)函數(shù)過(0,0)且其頂點為(2,4),故設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=a(x-2)2+4,將點(0,0)代入解析式即可求出a的值,從而的到函數(shù)解析式;
(2)①根據(jù)解析式求出N的縱坐標(biāo),減去P的縱坐標(biāo)即可求出PN的表達(dá)式;②由于PN∥CD,可知點P運動到PN=CD=3時,四邊形PNCD即成為平行四邊形.當(dāng)t>3時,PN=t2-3t,轉(zhuǎn)化為方程t2-3t=3,求出函數(shù)解析式即可.
(3)(i)當(dāng)PN=0,即t=3時,以點P,N,C,D為頂點的多邊形是三角形,求出三角形的高即可;(ⅱ)當(dāng)PN≠0時,以點P,N,C,D為頂點的多邊形是四邊形,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題解答.
點評:本題考查了二次函數(shù)綜合題,涉及動點問題、二次函數(shù)最值、平行四邊形的判定與性質(zhì)等問題,難度較大,是一道好題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線經(jīng)過原點O和x軸上另一點A,它的對稱軸x=-2與x軸交于點C,直線y=-精英家教網(wǎng)2x+1經(jīng)過拋物線上一點B(2,m),且與y軸.直線x=-2分別交于點D、E.
(1)求m的值及該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)①判斷△CBE的形狀,并說明理由;②判斷CD與BE的位置關(guān)系;
(3)若P(x,y)是該拋物線上的一個動點,是否存在這樣的點P,使得PB=PE?若存在,試求出所有符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•衡陽)如圖,已知拋物線經(jīng)過A(1,0),B(0,3)兩點,對稱軸是x=-1.
(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)動點Q從點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動,同時動點M從O點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動,過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N,交拋物線于點P,設(shè)運動的時間為t秒.
①當(dāng)t為何值時,四邊形OMPQ為矩形;
②△AON能否為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線經(jīng)過原點O和x軸上另一點A,它的對稱軸x=2與x軸交于點C,直線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上一點B(-2,m),且與y軸、直線x=2分別交于點D、E,
(1)求m的值及該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求證:①CB=CE;②D是BE的中點.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點,與x軸的另一個交點為A,且頂點M坐標(biāo)為(1,2),
(1)求該拋物線的解析式;
(2)現(xiàn)將它向右平移m(m>0)個單位,所得拋物線與x軸交于C、D兩點,與原拋物線交于點P,△CDP的面積為S,求S關(guān)于m的關(guān)系式;
(3)當(dāng)m=2時,點Q為平移后的拋物線的一動點,是否存在這樣的⊙Q,使得⊙Q與兩坐標(biāo)軸都相切?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線經(jīng)過原點O和x軸上的另一點E,頂點為M(2,4),矩形ABCD的頂點A與O重合,AD,AB分別在x,y軸上,且AD=2,AB=3.
(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)現(xiàn)將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從左圖所示位置沿x軸的正方向勻速平行移動;同時AB上一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速運動,設(shè)它們的運動時間為t秒(0≤t≤3),直線AB與拋物線的交點為N,設(shè)多邊形PNCD的面積為S,試探究S是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,說明理由.
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案