Question

3．如圖，矩形AOBC，A（0，3）、B（6，0），點E在OB上，∠AEO=30°，點P從點Q（-4，0）出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運動，運動時間為t秒．
（1）求點E的坐標；
（2）當△PAE是等腰三角形時，求t的值；
（3）以點P為圓心，PA為半徑的⊙P隨點P的運動而變化，當⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由A，B的坐標及∠AEO=30°可得OE=3$\sqrt{3}$，即可求出點E的坐標；
（2）分三種情形①當EA=EP時，EP₁=EA=EP₂=6，求出t．②當PA=PE時，設(shè)P₃E=P₃E=x，在Rt△AOP₃中，3²+（3$\sqrt{3}$-x）²=x²，x=$2\sqrt{3}$，求出t即可．③當AE=AP時，點P在點Q左邊，不符合題意．
（3）本小題分三種情況討論：①當PA⊥AE時，⊙P與AE相切；②當PA⊥AC時，⊙P與AC相切；③當PB⊥BC時，⊙P與BC相切；分別求出各種情況的t的值．

解答 解：（1）∵A（0，3），B（6，0），
∴OA=3，OB=6，
∵∠AEO=30°，
∴OE=$\sqrt{3}$OA=3$\sqrt{3}$，
∴點E的坐標為（$3\sqrt{3}$，0）．

（2）如圖1中，

當EA=EP時，EP₁=EA=EP₂=6，此時t=3$\sqrt{3}$-2或3$\sqrt{3}$+10，
當PA=PE時，設(shè)P₃E=P₃E=x，在Rt△AOP₃中，3²+（3$\sqrt{3}$-x）²=x²，
∴x=$2\sqrt{3}$，此時t=4+$\sqrt{3}$
當AE=AP時，點P在點Q左邊，不符合題意．
綜上所述，當△PAE是等腰三角形時，t的值為（3$\sqrt{3}$-2）s或（3$\sqrt{3}+10$）s或（4+$\sqrt{3}$）s．

（3）由題意知，若⊙P與四邊形AEBC的邊相切，有以下三種情況：
①如圖2中，當PA⊥AE時，⊙P與AE相切，

∵∠AEO=30°，AO=3，
∴∠APO=60°，
∴OP=$\sqrt{3}$，
∴QP=QO-PO=4-$\sqrt{3}$，
∵點P從點Q（-4，0）出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個單位的速度運動，
∴t=4-$\sqrt{3}$（秒）．
②如圖3中，當PA⊥AC時，⊙P與AC相切，

∵QO=4，點P從點Q（-4，0）出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個單位的速度運動，
∴t=4（秒），
③如圖4中，當⊙P與BC相切時，

由題意，PA²=PB²=（10-t）²，PO²=（t-4）²．
于是（10-t）²=（t-4）²+3²．
解得t=$\frac{25}{4}$（秒），
綜上所述，當⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切時，t的值為（4-$\sqrt{3}$）秒或4秒或$\frac{25}{4}$秒．

點評 本題考查了圓的綜合，涉及了圓與直線的位置關(guān)系、銳角三角函數(shù)的定義及外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題．