如圖，四邊形中ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，P為對角線AC延長線上的任意一點，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．
求證：K是線段MN的中點．
考點：相似三角形的判定與性質(zhì)
專題：證明題
分析：根據(jù)題意，EF截△PMN，則
NK
KM
.
MF
FP
.
PE
EN
=1(1)；BC截△PAE，則
EB
BA
.
AC
CP
.
PN
NE
=1(2)；所以
PE
EN
=
2CP+AC
AC
(3)．而CD截△PMA，則
FD
DC
.
CA
AP
.
PM
MF
=1，即
PM
MF
=
2AP
AC
，∴
PF
MF
=
2AP-AC
AC
(4)，因AP=AC+CP，得2CP+AC=2AP-AC，由（3），（4）得，
PE
EN
=
FP
MF
，即
MF
FP
.
PE
EN
=1，所以由（1）得NK=KM，即K是線段AM的中點．
解答：證明：∵EF截△PMN，
則
NK
KM
.
MF
FP
.
PE
EN
=1(1)
∵BC截△PAE，
則
EB
BA
.
AC
CP
.
PN
NE
=1(2)，
∴即有
PN
NE
=
2CP
AC
，
所以
PE
EN
=
2CP+AC
AC
(3)，
∵CD截△PMA，
則
FD
DC
.
CA
AP
.
PM
MF
=1，
即
PM
MF
=
2AP
AC
，∴
PF
MF
=
2AP-AC
AC
(4)
因AP=AC+CP，得2CP+AC=2AP-AC，由（3），（4）得，
PE
EN
=
FP
MF
，
即
MF
FP
.
PE
EN
=1，
所以由（1）得NK=KM，即K是線段MN的中點．
點評：本題考查了線段截三角形所得的線段的比為定值．以及比例的性質(zhì)．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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如圖，在銳角△ABC的BC邊上有兩點E、F，滿足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，F(xiàn)N⊥AC（M、N是垂足），延長AE交△ABC的外接圓于點D．
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，此函數(shù)的最大值是
 
，最小值是
 
．

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從甲地到乙地是上坡路，從乙地到丙地是下坡路，王燕同學自甲地途徑乙地到丙地，立即再沿原路返回甲地，共用3.5小時，已知王燕上坡速度相同，下坡速度也相同，并且走上坡路所用時間比下坡路所用時間多0.5小時．那么，王燕走上坡路共用了
 
小時．

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如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，∠XOA=30°，則A、B兩點的坐標分別是
 
．

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《數(shù)理天地》（初中版）月刊，全年共出12期，每期定價2.50元，某中學初一年級組織集體訂閱，有些學生訂半年而另一些學生訂全年，共需訂費1320元，若訂全年的同學都改訂半年，而訂半年的同學均改訂全年時，共需訂費1245元，則該中學初一年級訂閱《數(shù)理天地》（初中版）的學生共有
 
人．

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