Question

已知等腰梯形ABOC在直角坐標系中如圖所示，AB∥OC，OB=2，OA=．
（1）求點C的坐標；
（2）求經(jīng)過點B，O，C的拋物線解析式；
（3）若點P為（2）中所求拋物線上一動點，點Q為y軸上一動點，請?zhí)剿魇欠翊嬖邳cP和點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有對應(yīng)的P，Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需先分別求出過點A的圓的方程和直線OC的方程，再由兩個方程求出點C的坐標即可．
（2）本題需把B，O，C的坐標分別代入拋物線的解析式，即可求出結(jié)果．
（3）本題需先求出構(gòu)成平很四邊形的直線PQ的解析式，再根據(jù)解析式用b表示出點P和點Q的坐標，再求出b的值從而得出點P、Q的坐標．
解答：解：（1）∵ABOC等腰梯形，
∴|AC|=|BO|=2，
k_AB==，
于是設(shè)過A點的圓為：x²=2²，①
直線OC的方程為y=x，②
由①②解得x=1，x=2（舍去，不能構(gòu)成等腰梯形），
∴y=，C點的坐標為（1，）；

（2）將0（0，0）B（-2，0）C（1，）代入y=ax²+bx+c得方程組：
，
解得：a=，b=，c=0，
∴y=²+；

（3）∵B（-2，0）C（1，），
∴k_BC==，
|BC|==2，
于是構(gòu)成平行四邊形的直線PQ為y=x+b，①
y=+，②
由①②得：
x_1，2=；
y_1，2=為P點的坐標，Q點的坐標為（0，b），
|PQ|²=|BC|²=（-0）+（=-b）²=12，
解得b=2和b=4，
當(dāng)b=2時，x，=-3，y=或x=2，y=，
當(dāng)b=4時，x=-4，y=或x=3，y=5，
經(jīng)檢驗P₁（-3，），P₂（3，5）符合題意要求，
對P₁，將x=0代入y=x+2，
對P₂，將x=0代入y=y=x+4，
于是和Q₁（0，），Q₂（0，4）可以構(gòu)成兩個平行四邊形．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在解題時要注意二次函數(shù)的解析式的求法以及等腰梯形和平行四邊形的性質(zhì)相結(jié)合．