Question

（2006•內江）如圖AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點C，∠BPA的角平分線交AC于點E，交AB于點F，交⊙O于點D，∠B=60°，線段BF、AF是一元二次方程x²-kx+2=0的兩根（k為常數）．
（1）求證：PB•AE=PA•BF；
（2）求證：⊙O的直徑是常數k；
（3）求：tan∠DPB．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據弦切角定理和角平分線的定義發(fā)現兩個全等三角形，根據全等三角形的性質進行證明；
（2）根據根與系數的關系即可證明；
（3）根據角平分線的定義，可以把∠DPB轉化為∠APD，放到直角三角形APF中，只需求得AF和AP的長．根據根與系數的關系得到AF•BF=2，根據三角形的外角的性質可以發(fā)現∠AFE=∠AEF，得到AE=AF．再結合相似三角形的性質得到AF：BF=AE：BF=AP：BP=sin60°=．聯立兩個方程，即可求得AF、BF的長，即求得AB的長，根據銳角三角函數的概念進一步求得AP的長．
解答：（1）證明：∵PA切⊙O于點C，
∴∠PAE=∠B，又∠APE=∠BPF，
∴△PAE∽△PBF，
∴，
即PB•AE=PA•BF．

（2）證明：∵線段BF、AF是一元二次方程x²-kx+2=0的兩根（k為常數），
根據根與系數的關系，得BF+AF=k，即AB=k．

（3）解：∵∠AEF=∠APF+∠CAP，∠AFP=∠B+∠BPF，
又∵∠APF=∠BPF，∠B=∠CAP，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
由（2）知△PAE∽△PBF，
∴=，
∴==sin60°=，
即=①，
AF•BF=2②，
由①，②得，AE=，BF=2，
AP=3+2，
∴tan∠APE==2-，
即tan∠DPB=2-．
點評：此題綜合運用了弦切角定理、根與系數的關系、相似三角形的性質和判定方法．