Question

如圖，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB的平分線(xiàn)分別交AC、AB于點(diǎn)D，E，CE、BD相交于點(diǎn)F，連接DE．下列結(jié)論：
①cos∠BFE=

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；②A(yíng)B=BC；③DE=

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BC；
④點(diǎn)F到△ABC三邊的距離相等；⑤BE+CD=BC．
其中正確的結(jié)論是（　�。�

• A、②③④
• B、②④⑤
• C、①④⑤
• D、①③④

Answer 1

分析：利用三角形的內(nèi)角和，角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得∠CFD=120°，所以∠BFE=60°，并且有條件易知F為三角形的內(nèi)心，若想證明BE+CD=BC，只能給BE，CD找相等的線(xiàn)段代替，自然想到構(gòu)造全等三角形．

解答：解：（1）∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD，∠ACE=∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE=60°，
∴∠BFE=60°，
∴①cos∠BFE=

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，正確．
（2）∵∠ABC，∠ACB的平分線(xiàn)分別交AC、AB于點(diǎn)D，E，CE、BD相交于點(diǎn)F，
∴F為三角形的內(nèi)心，
∴④點(diǎn)F到△ABC三邊的距離相等正確．
（3）在BC上截取BH=BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴△EBF≌△HBF，
∴∠EFB=∠HFB=60°．
由（1）知∠CFB=120°，
∴∠CFH=60°，
∴∠CFH=∠CFD=60°，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴△CDF≌△CHF．
∴CD=CH，
∵CH+BH=BC，
∴⑤BE+CD=BC正確．
②A(yíng)B=BC③DE=

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2

BC只有在△ABC是等邊三角形時(shí)才成立，現(xiàn)有條件無(wú)法證明△ABC是等邊三角形，所以是錯(cuò)誤的，
因此，①④⑤正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的角平分線(xiàn)，三角形的內(nèi)心；全等三角形的判斷．特別是全等三角形的判定是證明線(xiàn)段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．并且注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線(xiàn)構(gòu)造三角形．