Question

如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=60°，點E是AD上一動點（不與A、D重合），點F是CD上一動點，且AE+CF=4，則△DEF面積的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先過點F作FG⊥AD，交AD的延長線于點G，由菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=60°，即可求得AD=CD=4，∠FDG=60°，然后設AE=x，即可得S_△DEF=DE•FG）=-（x-2）²+，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案．
解答：解：過點F作FG⊥AD，交AD的延長線于點G，
∵菱形ABCD邊長為4，∠BAD=60°，
∴AD=CD=4，∠ADB=180°-∠BAD=120°，
∴∠FDG=180°-∠ADB=60°，
設AE=x，
∵AE+CF=4，
∴CF=4-x；
∴DE=AD-AE=4-x，DF=CD-CF=4-（4-x）=x，
在Rt△DFG中，F(xiàn)G=DF•sin∠GDF=x，
∴S_△DEF=DE•FG=×（4-x）×x=-x²+x=-（x²-4x）=-（x-2）²+，
∴當x=2時，△DEF面積的最大，最大值為．
故答案為：．
點評：此題考查了菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想與函數(shù)思想的應用．