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已知,凸4n+2邊形A1A2…A4n+2(n是非零自然數)各內角都是30°的整數倍,又關于x的方程:
x2+2xsinA1+sinA2=0
x2+2xsinA2+sinA3=0
x2+2xsinA3+sinA1=0
均有實根,求這凸4n+2邊形各內角的度數.
∵各內角只能是30°,60°,90°,120°,150°,
∴正弦值只能取
1
2
,
3
2
,1,
若sinA1=
1
2
,
∵sinA2
1
2
,sinA3
1
2
,
∴方程①的判別式△1=4(sin2A1-sinA2)≤4(
1
4
-
1
2
)<0,
方程①無實根,與已知矛盾,
故sinA1
1
2
,
同理sinA2
1
2
,sinA3
1
2

若sinA1=
3
2
,則sinA2
3
2
,sinA3
3
2
,
∴方程①的判別式△1=4(sin2A1-sinA2)=4•(
3
4
-
3
2
)<0,方程①無實根,與已知矛盾,
∴sinA1
3
2
,同理sinA2
3
2
,sinA3
3
2
,
綜上,sinA1=1,A1=90°,
這樣,其余4n-1個內角之和為4n×180°-3×90°=720°•n-270°,這些角均不大于150°,
∴720°•n-270°≤(4n-1)•150°,
故n≤1,又n為正整數,
∴n=1,即多邊形為凸六邊形,且A4+A5+A6=4×180°-3×90°=450°,
∵A4,A5,A6≤150°,
∴A4=A5=A6=150°.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

已知,凸4n+2邊形A1A2…A4n+2(n是非零自然數)各內角都是30°的整數倍,又關于x的方程:
x2+2xsinA1+sinA2=0
x2+2xsinA2+sinA3=0
x2+2xsinA3+sinA1=0
均有實根,求這凸4n+2邊形各內角的度數.

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科目:初中數學 來源: 題型:

 已知,凸4n+2邊形A1A2…A4n+2n是非零自然數)各內角都是30°的整數倍,

又關于x的方程

②③

 
     

  均有實根,求這凸4n+2邊形各內角的度數.

   

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

已知,凸4n+2邊形A1A2…A4n+2(n是非零自然數)各內角都是30°的整數倍,又關于x的方程:
數學公式均有實根,求這凸4n+2邊形各內角的度數.

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科目:初中數學 來源:2006年江蘇省南通市啟東中學高一提前招生考試試卷(解析版) 題型:解答題

已知,凸4n+2邊形A1A2…A4n+2(n是非零自然數)各內角都是30°的整數倍,又關于x的方程:
均有實根,求這凸4n+2邊形各內角的度數.

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