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【題目】已知：在菱形ABCD中，O是對角線BD上的一動點．

（1）如圖甲，P為線段BC上一點，連接PO并延長交AD于點Q，當O是BD的中點時，求證：；

（2）如圖乙，連接AO并延長，與DC交于點R，與BC的延長線交于點若，，，求AS和OR的長．

【答案】（1）見解析；（2），.

【解析】

（1）根據菱形的性質證明△ODQ≌△OBP，即可得到．

（2）首先求AS的長，要通過構建直角三角形求解；過A作BC的垂線，設垂足為T，在Rt△ABT中，易證得∠ABT=∠DCB=60°，又已知了斜邊AB的長，通過解直角三角形可求出AT、BT的長；進而可在Rt△ATS中，由勾股定理求出斜邊AS的值；由于四邊形ABCD是菱形，則AD∥BC，易證得△ADO∽△SBO，已知了AD、BS的長，根據相似三角形的對應邊成比例線段可得出OA、OS的比例關系式，即可求出OA、OS的長；同理，可通過相似三角形△ADR和△SCR求得AR、RS的值；由OR=OS-RS即可求出OR的長．

（1）證明：四邊形ABCD為菱形，

．

,

是BD的中點，

,

在和中，

，，

≌

．

（2）解：如圖乙，

過A作，與CB的延長線交于T．

是菱形，

，

在中，

,

，

，

在中，

．

，

∽．

，

則，

，

，

．

同理可得∽．

，

則，

，

．

．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉得到△A'B'C，M是BC的中點，N是A'B'的中點，連接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，則線段MN的最大值為_____．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】某花圃銷售一批名貴花卉，平均每天可售出20盆，每盆盈利40元，為了增加盈利并盡快減少庫存，花圃決定采取適當的降價措施，經調查發(fā)現，如果每盆花卉每降1元，花圃平均每天可多售出2盆．

（1）若花圃平均每天要盈利1200元，每盆花卉應降價多少元？

（2）每盆花卉降低多少元時，花圃平均每天盈利最多，是多少？

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】在環(huán)境創(chuàng)優(yōu)活動中，某居民小區(qū)要在一塊靠墻（墻長25米）的空地上修建一個矩形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠墻，如果用60m長的籬笆圍成中間有一道籬笆的養(yǎng)雞場，設養(yǎng)雞場平行于墻的一邊BC的長為x（m），養(yǎng)雞場的面積為y（m2）

（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）養(yǎng)雞場的面積能達到300m2嗎？若能，求出此時x的值，若不能，說明理由；

（3）根據（1）中求得的函數關系式，判斷當x取何值時，養(yǎng)雞場的面積最大？最大面積是多少？

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一動點，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點．

（1）求證：四邊形PMEN是平行四邊形；

（2）請直接寫出當AP為何值時，四邊形PMEN是菱形；

（3）四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能，求出AP的長；若不可能，請說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，點B、C是線段AD上的點，△ABE、△BCF、△CDG都是等邊三角形，且AB＝4，BC＝6，已知△ABE與△CDG的相似比為2：5．則

①CD＝____；

②圖中陰影部分面積為_____．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，∠ABC=30°，過點B作⊙O的切線BD，與CA的延長線交于點D，與半徑AO的延長線交于點E，過點A作⊙O的切線AF，與直徑BC的延長線交于點F．

（1）求證：△ACF∽△DAE；

（2）若S△AOC=，求DE的長；

（3）連接EF，求證：EF是⊙O的切線．

【答案】(1) 見解析; (2)3 ;(3)見解析.

【解析】試題分析：（1）根據圓周角定理得到∠BAC=90°，根據三角形的內角和得到∠ACB=60°根據切線的性質得到∠OAF=90°，∠DBC=90°，于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到結論；

（2）根據S△AOC=，得到S△ACF=，通過△ACF∽△DAE，求得S△DAE=，過A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到AH=DH=DE，由三角形的面積公式列方程即可得到結論；

（3）根據全等三角形的性質得到OE=OF，根據等腰三角形的性質得到∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，于是得到∠AFO=∠GFO，過O作OG⊥EF于G，根據全等三角形的性質得到OG=OA，即可得到結論．

試題解析：（1）證明：∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，∵∠ABC=30°，∴∠ACB=60°

∵OA=OC，∴∠AOC=60°，∵AF是⊙O的切線，∴∠OAF=90°，∴∠AFC=30°，∵DE是⊙O的切線，∴∠DBC=90°，∴∠D=∠AFC=30，∵∠DAE=ACF=120°，∴△ACF∽△DAE；

（2）∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，∴∠CAF=30°，∴∠CAF=∠AFC，∴AC=CF，∴OC=CF，∵S△AOC=，∴S△ACF=，∵∠ABC=∠AFC=30°，∴AB=AF，∵AB=BD，∴AF=BD，∴∠BAE=∠BEA=30°，∴AB=BE=AF，∴，∵△ACF∽△DAE，∴=，∴S△DAE=，過A作AH⊥DE于H，∴AH=DH=DE，∴S△ADE=DEAH=×=，∴DE=；

（3）∵∠EOF=∠AOB=120°，∴∠OEB=∠AFO，在△AOF與△BOE中，∵∠OBE=∠OAF，∠OEB=∠AFO，OA=OB，∴△AOF≌△BEO，∴OE=OF，∴∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，∴∠AFO=∠GFO，過O作OG⊥EF于G，∴∠OAF=∠OGF=90°，在△AOF與△OGF中，∵∠OAF=∠OGF，∠AFO=∠GFO，OF=OF，∴△AOF≌△GOF，∴OG=OA，∴EF是⊙O的切線．

【題型】解答題
【結束】
25

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，四邊形ABCO是矩形，點A，C的坐標分別是A（0，2）和C（2，0），點D是對角線AC上一動點（不與A，C重合），連結BD，作DE⊥DB，交x軸于點E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF．

（1）填空：點B的坐標為　 　；

（2）是否存在這樣的點D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，請求出AD的長度；若不存在，請說明理由；

（3）①求證：；

②設AD=x，矩形BDEF的面積為y，求y關于x的函數關系式（可利用①的結論），并求出y的最小值．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，一次函數y1=kx+b與二次函數y2=ax2的圖象交于A（﹣1，n），B（2，4）兩點．

（1）利用圖中條件，求兩個函數的解析式；

（2）根據圖象直接寫出使y1＜y2的x的取值范圍．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】為了解本學期初三期中調研測試數學試題的命題質量與難度系數，命題教師選取了一個水平相當的初三年級進行分析研究，隨機抽取部分學生成績(得分為整數，滿分為130分)分為5組:第一組55～70，第二組70～85，第三組85～100，第四組100～115，第五組115～130;統計后得到如圖所示的頻數分布直方圖(每組含最小值不含最大值)和扇形統計圖，觀察圖形的信息，回答下列問題:

(1)本次調查共隨機抽取了該年級多少名學生?并將頻數分布直方圖補充完整;

(2)若將得分轉化為等級，規(guī)定:得分低于70分評為“D”，70～100分評為“C”，100～115分評為“B”，115～130分評為“A”，那么該年級1500名考生中，考試成績評為“B”的學生大約有多少名?

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