Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點G是直線BC上的任意一點，DE⊥AG于點E，BF∥DE，交AG于F．
（1）當點G在線段BC上時，如圖1，求證：DE-BF=EF；
（2）當點G在線段CB的延長線上時，如圖2，線段DE、BF、EF之間的數(shù)量關系是

DE+BF=EF

；
（3）在（2）的條件下，連接AC，過F作FP∥GC，交AC于點P，連接DP，若∠ADE=30°，GB=

4

3

3

，求DP的長．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)正方形的四條邊都相等可得DA=AB，由同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE，再利用“角角邊”證明△ABF≌△DAE，然后根據(jù)全等三角形對應邊相等得出BF=AE，AF=DE，最后根據(jù)線段的和差關系即可得證；
（2）方法同（1）還是證明△ABF≌△DAE，得出DE=AF，BF=AE，然后結(jié)合圖形可得出結(jié)論DE+BF=EF；
（3）先解直角△ABG，求出AB=4，AG=

8 3

3

，解直角△ABF，得出AF=2

3

，再由FP∥GC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到

AP

AC

=

AF

AG

，求出AP=3

2

，然后在△APD中運用余弦定理即可求出DP的長．

解答：（1）證明：∵BF∥DE，DE⊥AG，
∴BF⊥AG，∠AFB=90°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE．
在△ABF和△DAE中，

∠BAF=∠ADE ∠AFB=∠DEA=90° AB=DA

，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE，
∴DE-BF=AF-AE=EF；

（2）解：如圖2，線段DE、BF、EF之間的數(shù)量關系是DE+BF=EF．理由如下：
∵BF∥DE，DE⊥AG，
∴BF⊥AG，∠DAE+∠ADE=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=180°-∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠ADE．
在△ABF和△DAE中，

∠BAF=∠ADE ∠AFB=∠DEA=90° AB=DA

，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE，
∴DE+BF=AF+AE=EF．
故答案為DE+BF=EF；

（3）解：∵AD∥GC，
∴∠G=∠EAD=90°-∠ADE=90°-30°=60°．
在△ABG中，∵∠ABG=90°，∠G=60°，GB=

4

3

3

，
∴AB=GB•tan∠G=

4

3

3

×

3

=4，AG=2GB=

8 3

3

．
在△ABF中，∵∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF=

1

2

AB=2，AF=

3

BF=2

3

．
∵FP∥GC，
∴

AP

AC

=

AF

AG

，

AP

4 2

=

2 3

8 3 3

，
∴AP=3

2

．
在△APD中，∵AP=3

2

，AD=AB=4，∠DAP=45°，
∴DP²=AP²+AD²-2AP•ADcos∠DAP=18+16-2×4×3

2

×

2

2

=10，
∴DP=

10

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，平行線分線段成比例定理，余弦定理，第三問有一定難度，（3）中求出AP的長度是解題的關鍵．